Interprétation économique du multiplicateur de Lagrange

Bonjour. Lors de la leçon précédente, vous avez appris à vérifier qu’un candidat issu des conditions de Lagrange est bien un optimum contraint, en étudiant la courbure du lagrangien dans les directions admissibles. Le multiplicateur $λ^{⋆}$ y apparaissait encore comme une inconnue technique permettant d’écrire les conditions du premier ordre.

Il a pourtant une signification économique directe : il mesure la variation de la valeur optimale lorsque l’on modifie marginalement la constante de la contrainte. Cette leçon formalise cette idée, l’applique au consommateur, et précise les précautions indispensables d’interprétation.

La contrainte comme ressource paramétrée

Considérons un problème de maximisation dans lequel la quantité disponible d’une ressource est $b$ :

V (b) = x max sous la contrainte f (x) c (x) = b .

La fonction $V$ est appelée fonction de valeur : à chaque niveau de ressource $b$ , elle associe la meilleure valeur atteignable de l’objectif.

Pour conserver la convention employée dans les leçons précédentes, écrivons le lagrangien sous la forme :

L (x, λ; b) = f (x) + λ [b - c (x)] .

Les conditions du premier ordre, lorsque l’optimum est intérieur et régulier, sont :

\nabla f (x^{⋆}) - λ^{⋆} \nabla c (x^{⋆}) = 0,

avec

c (x^{⋆}) = b .

L’idée économique est de comparer deux situations très proches :

la ressource disponible est initialement $b$ ;
elle devient $b + Δ b$ , où $Δ b$ est petit ;
l’agent réoptimise son choix.

Le multiplicateur donne alors l’effet de cette variation sur la valeur optimale :

V (b + Δ b) - V (b) \approx λ^{⋆} Δ b .

Donc, avec la convention de lagrangien ci-dessus,

V^{'} (b) = λ^{⋆} .

Le multiplicateur est ainsi la valeur marginale de la contrainte, ou son prix d’ombre (shadow price).

Pourquoi le multiplicateur est-il une dérivée ?

Supposons que la solution optimale $x^{⋆} (b)$ varie de manière régulière lorsque $b$ varie. La valeur optimale est alors :

V (b) = f (x^{⋆} (b)) .

En utilisant le lagrangien à l’optimum, on peut aussi écrire :

V (b) = L (x^{⋆} (b), λ^{⋆} (b); b),

car la contrainte est satisfaite, donc :

b - c (x^{⋆} (b)) = 0.

Dérivons cette expression par rapport à $b$ . Les variations de $x^{⋆} (b)$ et de $λ^{⋆} (b)$ semblent d’abord devoir intervenir. Mais elles disparaissent au premier ordre :

la dérivée de $L$ par rapport à $x$ est nulle à l’optimum, par les conditions du premier ordre ;
la dérivée de $L$ par rapport à $λ$ est nulle, car la contrainte est satisfaite.

Il ne reste que la dérivée directe du lagrangien par rapport à $b$ :

\frac{\partial L}{\partial b} = λ^{⋆} .

D’où :

\frac{d V}{d b} = λ^{⋆} .

C’est une première forme du théorème de l’enveloppe : lorsque le paramètre $b$ varie, l’effet marginal sur la valeur optimale se lit directement dans le lagrangien, sans avoir à calculer comment tous les choix optimaux se réajustent.

Lire géométriquement un prix d’ombre

Dans un problème de maximisation, relâcher une contrainte de ressource signifie généralement déplacer la frontière des choix possibles vers l’extérieur. Si cette ressource est réellement limitante, une légère expansion permet d’atteindre une courbe de niveau plus élevée : le multiplicateur est positif.

Par exemple, si une entreprise maximise un profit sous une contrainte de capacité :

utilisation de machine \leq b,

un multiplicateur de

λ^{⋆} = 15

signifie qu’une unité supplémentaire de capacité augmente approximativement le profit maximal de $15$ unités monétaires, toutes choses égales par ailleurs et localement.

Le terme « localement » est essentiel. Une hausse de capacité de $1$ heure peut valoir $15$ euros autour du niveau actuel, mais ce montant peut changer si l’on ajoute beaucoup d’heures : une autre contrainte peut alors devenir limitante, ou la technologie pertinente peut changer.

#3/6# Microéconomie - Méthode de LAGRANGE et son multiplicateur

Regardez l’extrait « Microéconomie - Méthode de LAGRANGE et son multiplicateur » de L'Économie-Gestion Simplement. Il donne une interprétation intuitive du multiplicateur dans un problème de choix du consommateur.

Dans la dernière partie de la vidéo, regardez l interprétation économique. Relevez précisément la grandeur qui augmente, l’unité de cette augmentation et la grandeur optimale qui en résulte modifiée.

Exemple central : le multiplicateur comme utilité marginale du revenu

Reprenons le consommateur de la leçon précédente. Il choisit les quantités $x$ et $y$ pour maximiser :

U (x, y) = x y,

sous la contrainte budgétaire :

3 x + 4 y = R .

Ici, $R$ désigne le revenu disponible. Il remplace le budget fixe $24$ utilisé précédemment afin de pouvoir étudier l’effet d’une variation de revenu.

Le lagrangien est :

L (x, y, λ; R) = x y + λ (R - 3 x - 4 y) .

Les conditions du premier ordre sont :

\frac{1}{2} \frac{y}{x} = 3 λ,

\frac{1}{2} \frac{x}{y} = 4 λ,

R - 3 x - 4 y = 0.

En divisant les deux premières équations, on obtient :

\frac{y}{x} = \frac{3}{4} .

Donc :

y = \frac{3}{4} x .

En reportant dans la contrainte budgétaire :

3 x + 4 (\frac{3}{4} x) = R,

d’où :

x^{⋆} (R) = \frac{R}{6}, y^{⋆} (R) = \frac{R}{8} .

Pour $R = 24$ , on retrouve bien le panier précédent :

x^{⋆} = 4, y^{⋆} = 3.

Calculons maintenant le multiplicateur. À partir de la première condition du premier ordre :

λ^{⋆} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{y ^{⋆}}{x ^{⋆}} .

Or :

\frac{y ^{⋆}}{x ^{⋆}} = \frac{3}{4} .

Ainsi :

λ^{⋆} = \frac{1}{6} \frac{3}{4} = \frac{1}{4 3} .

Donc :

λ^{⋆} = \frac{1}{4 3} .

L’interprétation est :

un euro suppl e ˊ mentaire de revenu augmente l’utilit e ˊ maximale d’environ \frac{1}{4 3} .

Cette quantité est l’utilité marginale du revenu. Elle exprime la valeur qu’a, pour le consommateur placé à son optimum, un léger relâchement de sa contrainte budgétaire.

On peut vérifier directement ce résultat par la fonction de valeur :

V (R) = U (\frac{R}{6}, \frac{R}{8}) .

Alors :

V (R) = \frac{R}{6} \cdot \frac{R}{8} = \frac{R}{4 3} .

Donc :

V^{'} (R) = \frac{1}{4 3} = λ^{⋆} .

Dans cet exemple particulier, $V (R)$ est linéaire en $R$ : l’approximation marginale est même exacte pour toute variation de revenu. Dans un problème plus général, on aurait seulement :

V (R + Δ R) - V (R) \approx λ^{⋆} Δ R .

Lecture 4 - Utility Maximization

Lisez la partie consacrée à l’interprétation de \lambda dans les notes de cours du MIT. Elle relie les conditions du premier ordre du consommateur à l’idée d’utilité marginale du revenu.

Dans la section 2.3, « Interpretation of λ, the Lagrange multiplier » (autour de la diapositive/page 8), commencez par l égalisation des utilités marginales par unité monétaire dépensée. Lisez ensuite, plus bas dans la même section, la dérivation du prix d ombre. Faites le lien entre I, le revenu du document, et R, le budget paramétré dans notre exemple.

Les unités donnent le sens économique

Un multiplicateur n’a de sens qu’avec ses unités. Sa dimension est toujours :

\frac{unit e ˊ de l objectif}{unit e ˊ du second membre de la contrainte} .

Dans l’exemple du consommateur :

λ^{⋆} = \frac{unit e ˊ s d utilit e ˊ}{euro de revenu} .

Dans un problème de minimisation de coût :

C (q) = L, K min sous la contrainte w L + r K F (L, K) = q,

on peut écrire :

L (L, K, μ; q) = w L + r K + μ [q - F (L, K)] .

La même logique donne :

C^{'} (q) = μ^{⋆} .

Cette fois, $μ^{⋆}$ est le coût marginal : il mesure l’augmentation minimale du coût total lorsque l’entreprise doit produire une unité supplémentaire de production.

Ses unités sont :

\frac{euros de co u ˆ t}{unit e ˊ produite} .

Il faut donc être attentif au sens économique du paramètre :

Problème	Second membre modifié	Multiplicateur
Consommateur	Revenu $R$	Utilité marginale du revenu
Entreprise utilisant une capacité limitée	Capacité disponible $b$	Gain marginal de profit ou de production permis par une unité de capacité
Entreprise minimisant son coût pour produire	Production imposée $q$	Coût marginal de production

Dans les deux premiers cas, augmenter le second membre est habituellement un relâchement de contrainte. Dans le dernier, augmenter $q$ rend au contraire l’objectif plus exigeant : il faut produire davantage, donc le coût minimal augmente.

Une précaution : le signe dépend de la convention du lagrangien

Le résultat

V^{'} (b) = λ^{⋆}

est associé à la convention :

L = f + λ [b - c (x)] .

C’est celle utilisée dans cette leçon et dans l’exemple budgétaire précédent :

L = U (x, y) + λ (R - 3 x - 4 y) .

Mais on peut aussi rencontrer la convention :

L = f (x) + λ [c (x) - b] .

Les deux lagrangiens décrivent exactement le même problème, mais les multiplicateurs sont opposés :

λ^{⋆} = - λ^{⋆} .

Dans cette seconde convention :

V^{'} (b) = - λ^{⋆} .

La règle pratique est donc la suivante :

Avant d’interpréter le signe d’un multiplicateur, repérez si le second membre $b$ apparaît avec le signe $+ λb$ ou avec le signe $- λb$ dans le lagrangien.

Ce n’est pas une difficulté économique : c’est une convention d’écriture.

Les limites de l’interprétation

L’interprétation marginale de $λ^{⋆}$ repose sur plusieurs conditions.

1. Une interprétation locale

Le multiplicateur décrit une petite variation :

Δ V \approx λ^{⋆} Δ b .

Il ne garantit pas qu’une grande variation de $b$ aura le même effet par unité supplémentaire. La valeur marginale d’une ressource diminue souvent à mesure que cette ressource devient abondante.

2. Une solution régulière

Pour écrire proprement :

V^{'} (b) = λ^{⋆},

il faut notamment que l’optimum soit suffisamment stable lorsque $b$ varie. Si une modification de $b$ fait basculer vers un autre optimum, introduit un coin, ou change les contraintes pertinentes, la fonction de valeur peut ne pas être dérivable au point considéré.

3. Une valeur attachée à une unité précise

Dire que $λ^{⋆} = 12$ ne suffit pas. Il faut préciser :

$12$ quoi ?
pour une unité supplémentaire de quelle ressource ?
dans quelle unité est exprimé l’objectif ?

Dans un problème de profit, le prix d’ombre peut être directement monétaire. Dans un problème d’utilité, il est exprimé en unités d’utilité.

4. Le cas particulier de l’utilité

Une fonction d’utilité représente des préférences de façon ordinale. Si l’on remplace $U$ par :

U = a U + d, a > 0,

les choix optimaux ne changent pas, mais le multiplicateur devient :

λ^{⋆} = a λ^{⋆} .

La valeur numérique de l’utilité marginale du revenu dépend donc de l’échelle choisie pour l’utilité. Elle ne se compare pas directement entre deux personnes ayant des fonctions d’utilité différentes. En revanche, pour une même représentation de l’utilité, elle renseigne correctement sur la variation marginale du bien-être représenté par cette fonction.

Méthode de lecture économique d’un multiplicateur

Face à un exercice, procédez dans cet ordre :

Identifier le paramètre du second membre de la contrainte, par exemple $R$ , $b$ ou $q$ .
Définir la fonction de valeur : utilité maximale, profit maximal, coût minimal, production maximale, etc.
Vérifier la convention de signe dans le lagrangien.
Écrire l’interprétation marginale :
$Δ V \approx λ^{⋆} Δ b$
si le lagrangien contient $λ [b - c (x)]$ .
Donner les unités : « euros de profit par heure-machine », « euros de coût par unité produite », ou « unités d’utilité par euro de revenu ».

À retenir

Le multiplicateur de Lagrange n’est pas seulement un outil de calcul. Dans un problème paramétré par le second membre $b$ d’une contrainte,

L (x, λ; b) = f (x) + λ [b - c (x)],

il mesure la valeur marginale de cette contrainte :

λ^{⋆} = \frac{d V}{d b} .

Ainsi, il indique la variation approximative de la valeur optimale quand on augmente $b$ d’une unité :

V (b + Δ b) - V (b) \approx λ^{⋆} Δ b .

Pour le consommateur, $λ^{⋆}$ est l’utilité marginale du revenu. Pour une entreprise qui minimise ses coûts à production imposée, le multiplicateur associé à $q$ est le coût marginal. Son interprétation dépend toujours du paramètre modifié, des unités et de la convention de signe retenue.

La prochaine leçon étendra cette logique aux contraintes d’inégalité avec les conditions de Kuhn-Tucker. Les prix d’ombre y permettront notamment de comprendre pourquoi une contrainte non active n’a, localement, aucune valeur marginale.

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2. Une solution régulière

3. Une valeur attachée à une unité précise

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