Application des Conditions de Kuhn-Tucker à une Contrainte d’Inégalité

Bonjour. La leçon précédente a donné un sens économique au multiplicateur de Lagrange : il mesure la variation marginale de la valeur optimale lorsque l’on relâche une contrainte. Cela supposait une contrainte d’égalité, donc une frontière forcément atteinte.

Avec une contrainte d’inégalité, cette frontière peut au contraire être inactive : une capacité disponible peut ne pas être entièrement utilisée, ou un budget peut ne pas être totalement dépensé. Les conditions de Kuhn-Tucker, souvent abrégées KKT, permettent de traiter systématiquement les deux possibilités. Elles prolongent donc directement la méthode de Lagrange tout en intégrant la question décisive : quelle contrainte limite réellement l’optimum ?

À l’issue de cette leçon, vous saurez écrire les conditions KKT pour une maximisation avec une contrainte d’inégalité, distinguer les cas « contrainte active » et « contrainte inactive », puis sélectionner et vérifier une solution.

D’une contrainte forcément saturée à une contrainte éventuellement inactive

Considérons le problème général :

x max f (x)

sous la contrainte :

g (x) \leq c .

Dans une méthode de Lagrange avec égalité, on imposerait :

g (x) = c .

Mais ici, ce serait une erreur : l’optimum peut satisfaire strictement l’inégalité,

g (x^{⋆}) < c .

Dans ce cas, la contrainte laisse une marge ; on dit qu’elle est inactive ou non saturée (slack). Modifier légèrement $c$ ne change alors pas le choix optimal : la ressource supplémentaire n’a pas de valeur marginale, et le multiplicateur doit être nul.

À l’inverse, si :

g (x^{⋆}) = c,

la contrainte est active ou saturée (binding). Elle empêche l’agent de choisir une solution qu’il préférerait : son multiplicateur peut alors être strictement positif.

Pour conserver la convention de la leçon précédente, écrivons le lagrangien :

L (x, λ) = f (x) + λ [c - g (x)] .

Le terme $c - g (x)$ est positif ou nul pour tout choix faisable. Dans un problème de maximisation, cette convention implique :

λ \geq 0.

Cette règle de signe est cohérente avec l’interprétation économique : augmenter $c$ relâche la contrainte, donc ne peut pas diminuer la valeur maximale de l’objectif. Lorsque l’interprétation marginale est valable, on a :

\frac{d V}{d c} = λ^{⋆} \geq 0.

Les quatre conditions de Kuhn-Tucker

Pour une variable de décision libre et une seule contrainte $g (x) \leq c$ , les conditions KKT sont les suivantes.

1. Stationnarité

\nabla f (x^{⋆}) - λ^{⋆} \nabla g (x^{⋆}) = 0.

C’est l’analogue de la condition du premier ordre de Lagrange.

2. Faisabilité primale

g (x^{⋆}) \leq c .

Le candidat doit effectivement respecter la contrainte initiale.

3. Faisabilité duale

λ^{⋆} \geq 0.

Le multiplicateur doit avoir le bon signe pour une maximisation écrite sous la forme $g (x) \leq c$ .

4. Complémentarité

λ^{⋆} [c - g (x^{⋆})] = 0.

C’est la condition nouvelle et centrale. Elle signifie que le produit de deux quantités positives ou nulles est nul. Il existe donc deux cas possibles :

Situation	Marge de la contrainte	Multiplicateur
Contrainte inactive	$c - g (x^{⋆}) > 0$	$λ^{⋆} = 0$
Contrainte active	$c - g (x^{⋆}) = 0$	$λ^{⋆} \geq 0$

La complémentarité impose donc :

λ^{⋆} > 0 ⟹ g (x^{⋆}) = c .

En revanche, la réciproque n’est pas toujours vraie : une contrainte peut être saturée tout en ayant un multiplicateur nul. Cela arrive notamment lorsqu’elle touche juste l’optimum non contraint, sans réellement le déplacer.

7.1 Optimization with inequality constraints: the Kuhn- ...

Lisez la fiche « Optimization with inequality constraints: the Kuhn-Tucker conditions » de M. J. Osborne. Elle présente la transition entre Lagrange et Kuhn-Tucker, puis motive précisément la complémentarité.

Dans la section 7.1, lisez d’abord l’introduction, depuis le cas à une contrainte. Repérez les deux issues : contrainte atteinte ou laissée avec une marge. Poursuivez dans le passage qui explique la complémentarité. À partir de la condition de complémentarité, vérifiez que la formulation du texte, avec \lambda[g(x)-c]=0, est équivalente à celle utilisée ici : \lambda[c-g(x)]=0. Enfin, parcourez le début de la formalisation pour plusieurs contraintes, depuis la généralisation. Retenez seulement le principe : une contrainte d’inégalité reçoit son propre multiplicateur et sa propre condition de complémentarité.

Lecture géométrique : que dit réellement le multiplicateur ?

Lorsque la contrainte est inactive, $λ^{⋆} = 0$ . La stationnarité devient :

\nabla f (x^{⋆}) = 0.

On retrouve donc un optimum non contraint : localement, la frontière faisable est trop éloignée pour influencer le choix.

Lorsque la contrainte est active et que $λ^{⋆} > 0$ , la stationnarité s’écrit :

\nabla f (x^{⋆}) = λ^{⋆} \nabla g (x^{⋆}) .

Les gradients sont alors colinéaires. Le gradient de $f$ indique la direction où l’objectif augmente le plus vite ; mais cette direction augmente aussi $g (x)$ , ce qui ferait sortir de l’ensemble faisable. La contrainte bloque donc l’amélioration directe de l’objectif.

Le graphique montre des courbes de niveau de l’objectif et une région faisable délimitée par deux contraintes d’inégalité. Au point optimal A, les contraintes représentées par leurs frontières $g_1=0$ et $g_2=0$ sont actives, et le gradient de l’objectif peut être exprimé à l’aide des gradients des contraintes actives.

L’image comporte deux contraintes, alors que nous nous limitons ici à une seule. L’idée est néanmoins la même : avec plusieurs contraintes, les gradients des contraintes actives se combinent, chacun étant pondéré par son multiplicateur.

Méthode pratique : raisonner par cas

Dans un problème simple à une contrainte, la complémentarité fournit une méthode de résolution très efficace. Pour

x max f (x)

sous :

g (x) \leq c,

procédez ainsi.

Écrire le lagrangien :
$L (x, λ) = f (x) + λ [c - g (x)] .$
Écrire les conditions KKT : stationnarité, faisabilité, signe de $λ$ , complémentarité.
Tester le cas de contrainte inactive :
$λ = 0.$
La stationnarité devient la condition du premier ordre sans contrainte. Vérifiez ensuite si le candidat respecte bien $g (x) < c$ , ou au moins $g (x) \leq c$ .
Si ce candidat n’est pas faisable, tester le cas de contrainte active :
$g (x) = c .$
Résolvez alors les équations de stationnarité et de frontière, puis vérifiez que $λ \geq 0$ .
Vérifier que le candidat est bien un maximum. Dans le cadre courant d’un objectif concave et d’un ensemble faisable convexe, les conditions KKT sont suffisantes pour conclure à un optimum global.

Ce raisonnement n’est pas une astuce arbitraire : il consiste simplement à exploiter les deux facteurs de l’équation de complémentarité.

Exemple complet : une capacité de production limitée

Une entreprise choisit une quantité produite $q$ afin de maximiser son profit :

π (q) = 10 q - q^{2} .

Elle dispose d’une capacité maximale de production égale à $3$ :

q \leq 3.

Le problème est donc :

q max 10 q - q^{2}

sous :

q \leq 3.

On pourrait aussi ajouter $q \geq 0$ , condition naturelle en économie. Ici, le candidat final sera strictement positif, donc cette contrainte ne jouera aucun rôle ; nous nous concentrons sur la capacité.

Écriture du lagrangien

La contrainte est déjà sous la forme $g (q) \leq c$ , avec :

g (q) = q, c = 3.

Le lagrangien est :

L (q, λ) = 10 q - q^{2} + λ (3 - q) .

Les conditions KKT sont :

10 - 2 q - λ = 0,

q \leq 3,

λ \geq 0,

λ (3 - q) = 0.

Premier cas : capacité inactive

Supposons :

λ = 0.

La stationnarité devient :

10 - 2 q = 0,

donc :

q = 5.

Mais cette production viole la capacité :

5 > 3.

Le candidat est infaisable. L’hypothèse $λ = 0$ est donc rejetée : la capacité ne peut pas être inactive.

Second cas : capacité active

La complémentarité impose alors :

3 - q = 0.

Ainsi :

q^{⋆} = 3.

Reportons cette valeur dans la stationnarité :

10 - 2 (3) - λ = 0.

Donc :

λ^{⋆} = 4.

Toutes les conditions sont satisfaites :

q^{⋆} = 3 \leq 3,

λ^{⋆} = 4 \geq 0,

λ^{⋆} (3 - q^{⋆}) = 4 (3 - 3) = 0.

La fonction de profit est strictement concave car :

π^{''} (q) = - 2 < 0.

La contrainte $q \leq 3$ définit un ensemble convexe. Les conditions KKT permettent donc de conclure que :

q^{⋆} = 3

est l’unique optimum global.

Le profit maximal vaut :

π (3) = 10 \times 3 - 3^{2} = 21.

Enfin, le multiplicateur s’interprète grâce à la leçon précédente :

λ^{⋆} = 4.

Une unité marginale de capacité supplémentaire augmenterait le profit maximal d’environ $4$ unités monétaires. Ici, cette interprétation est particulièrement nette : l’entreprise voudrait produire $5$ unités sans la contrainte, mais elle est limitée à $3$ .

Comparer une contrainte active et une contrainte inactive

Reprenons exactement la même entreprise, mais supposons maintenant que la capacité soit :

q \leq 8.

Sans contrainte, le maximum du profit est obtenu en résolvant :

10 - 2 q = 0,

d’où :

q = 5.

Or :

5 < 8.

La capacité est donc inactive. Les conditions KKT donnent :

q^{⋆} = 5, λ^{⋆} = 0.

La capacité supplémentaire n’a aucune valeur marginale à l’optimum : passer de $8$ à $8, 1$ unités ne change ni la production optimale, ni le profit maximal. L’entreprise possède déjà plus de capacité que nécessaire.

La comparaison résume la logique économique :

Capacité	Production optimale	Contrainte	Multiplicateur
$q \leq 3$	$q^{⋆} = 3$	Active	$λ^{⋆} = 4$
$q \leq 8$	$q^{⋆} = 5$	Inactive	$λ^{⋆} = 0$

Trois précautions utiles en examen

La forme de la contrainte détermine le signe

Dans cette leçon, une maximisation sous :

g (x) \leq c

est associée à :

L = f (x) + λ [c - g (x)], λ \geq 0.

Une écriture équivalente est :

h (x) \leq 0,

avec :

L = f (x) - λh (x), λ \geq 0.

Par exemple, $q \leq 3$ peut s’écrire :

q - 3 \leq 0.

Le lagrangien correspondant est :

L (q, λ) = 10 q - q^{2} - λ (q - 3),

qui est exactement le même que précédemment. Changer de forme sans adapter le signe est une source classique d’erreur.

Une contrainte saturée n’a pas nécessairement une valeur marginale positive

La complémentarité affirme :

λ^{⋆} > 0 ⟹ g (x^{⋆}) = c .

Mais elle n’affirme pas :

g (x^{⋆}) = c ⟹ λ^{⋆} > 0.

Par exemple, si l’objectif non contraint est déjà maximal au point de frontière, la contrainte peut être atteinte sans limiter réellement le choix. Dans ce cas :

g (x^{⋆}) = c, λ^{⋆} = 0.

Les contraintes de non-négativité sont aussi des inégalités

Dans les problèmes de consommateur ou de production, on impose fréquemment :

x_{i} \geq 0.

Formellement, cela équivaut à :

- x_{i} \leq 0.

Chaque contrainte de non-négativité peut donc recevoir son propre multiplicateur KKT. Si la solution vérifie $x_{i}^{⋆} > 0$ , cette contrainte est inactive et son multiplicateur est nul. Si $x_{i}^{⋆} = 0$ , on est face à une solution de coin, qui doit être traitée avec les conditions KKT complètes.

À retenir

Les conditions de Kuhn-Tucker généralisent Lagrange aux contraintes d’inégalité. Pour une maximisation avec :

g (x) \leq c,

et le lagrangien :

L (x, λ) = f (x) + λ [c - g (x)],

il faut vérifier :

\nabla f (x^{⋆}) - λ^{⋆} \nabla g (x^{⋆}) = 0,

g (x^{⋆}) \leq c,

λ^{⋆} \geq 0,

λ^{⋆} [c - g (x^{⋆})] = 0.

La complémentarité organise le raisonnement :

si la contrainte est inactive, alors $λ^{⋆} = 0$ ;
si le multiplicateur est strictement positif, alors la contrainte est active ;
on résout les cas possibles, puis on élimine ceux qui violent la faisabilité ou le signe du multiplicateur.

Vous achevez ainsi le module consacré aux outils mathématiques d’optimisation économique. Le module suivant fera basculer le travail vers l’algorithmique Python, en commençant par le choix entre listes, tuples, ensembles et dictionnaires selon les opérations à effectuer.

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