Vérification des conditions du second ordre pour un optimum contraint simple

1. L’idée essentielle : ne regarder que les déplacements autorisés

Considérons :

Avec notre convention,

Au candidat $(x^{\star },y^{\star },{\lambda }^{\star })$, les CPO donnent :

Pour savoir si ce point est un maximum ou un minimum, on examine la courbure de $\mathcal{L}$. Mais il faut faire attention : sous contrainte, tous les déplacements ne sont pas possibles.

Sans contrainte, depuis un point $(x^{\star },y^{\star })$, on pourrait se déplacer dans n’importe quelle direction $(h_x,h_y)$. Sous la contrainte $g(x,y)=0$, les déplacements admissibles doivent suivre localement la courbe de contrainte : ils sont donc tangents à cette courbe.

La condition de tangence s’écrit :

Autrement dit, si

alors tout déplacement infinitésimal admissible $h=(h_x,h_y)$ doit vérifier :

Le gradient est normal à la contrainte ; les déplacements permis lui sont orthogonaux.

C’est la différence fondamentale avec l’optimisation sans contrainte : on ne demande pas que la hessienne soit positive ou négative dans toutes les directions du plan, mais seulement dans les directions qui préservent la contrainte, au premier ordre.

2. La hessienne pertinente : celle du lagrangien

On calcule la hessienne du lagrangien par rapport aux variables de décision seulement :

Il ne faut donc pas inclure $\lambda$ comme troisième variable dans cette matrice pour appliquer le test usuel. On fixe $\lambda$ à sa valeur candidate ${\lambda }^{\star }$, puis on étudie la courbure en $x$ et $y$.

La forme quadratique associée est :

Pour un déplacement admissible non nul $h$, son signe donne la classification.

Les versions nécessaires sont plus faibles :

• en un maximum contraint, on doit avoir $Q(h)\le 0$ dans toute direction tangentielle ;
• en un minimum contraint, on doit avoir $Q(h)\ge 0$.

Les inégalités strictes sont celles qui permettent de conclure directement à un optimum local strict.

3. Le test pratique avec deux variables et une contrainte

Dans ${\mathbb{R}}^2$, avec une seule contrainte, l’espace des directions tangentes est une droite. Il suffit donc de choisir un vecteur tangent non nul.

Si

un vecteur automatiquement tangent est :

En effet,

On calcule alors le scalaire :

Puis :

Le choix de $t$ n’est pas unique. Tout multiple non nul de $t$ convient, car remplacer $t$ par $at$, avec $a\ne 0$, remplace $q$ par $a^{2}q$, ce qui ne change pas son signe.

Pourquoi le lagrangien intervient-il ?

Au voisinage d’un point faisable, les points comparés vérifient tous $g(x,y)=0$. Donc, à ${\lambda }^{\star }$ fixé,

sur l’ensemble admissible, puisque le terme ${\lambda }^{\star }g(x,y)$ est nul.

Le lagrangien a l’avantage d’incorporer correctement la courbure de la contrainte. Cette précision sera décisive si $g$ est non linéaire, comme une contrainte circulaire ou une frontière de production incurvée.

4. Continuité avec l’exemple de minimisation précédent

Reprenons le problème vu dans la leçon précédente :

Nous avions écrit :

et trouvé le candidat :

La contrainte est :

donc :

Un vecteur tangent est par exemple :

La hessienne du lagrangien vaut :

Le terme de contrainte est linéaire, donc ses dérivées secondes sont nulles. Ici, la hessienne du lagrangien est donc la même que celle de l’objectif.

Calculons :

D’abord,

Ainsi,

Donc :

Ici, le résultat est intuitif : parmi les points de la droite $x+2y=4$, celui trouvé est le plus proche de l’origine, donc minimise bien $x^2+y^2$.

5. Exemple économique : le consommateur avec utilité $\sqrt{xy}$

Reprenons également le problème du consommateur :

La leçon précédente a donné le candidat :

Le lagrangien était :

Comme la contrainte budgétaire est affine, ses dérivées secondes sont nulles. La hessienne de $\mathcal{L}$ est donc celle de $U$ :

La contrainte s’écrit :

donc :

Un vecteur tangent à la contrainte budgétaire est :

Il décrit un petit déplacement qui augmente $x$ tout en réduisant $y$, de sorte que la dépense totale reste constante à l’ordre un.

Le calcul donne :

On conclut donc :

Ce résultat contient une subtilité utile. La hessienne de $U(x,y)=\sqrt{xy}$ est seulement négative semi-définie sur l’ensemble du plan : son déterminant est nul. Le test sans contrainte ne donnerait donc pas directement une stricte concavité à partir de cette seule hessienne.

Pourtant, le long de la contrainte budgétaire, la courbure est strictement négative. C’est précisément pour cela que le test doit être effectué dans les directions tangentes à la contrainte, et non dans toutes les directions possibles.

6. Quand la contrainte est non linéaire : ne pas oublier sa courbure

Considérons :

La contrainte est maintenant le cercle unité. Écrivons :

puis :

Les CPO sont :

Les deux premières équations impliquent $x=y$. Les deux candidats sont donc :

La hessienne du lagrangien est :

Au premier candidat, les CPO donnent :

Ainsi,

Pour tout vecteur tangent non nul $t$,

Donc :

Au candidat opposé, ${\lambda }^{\star }=1/\sqrt{2}$, la hessienne devient positive définie : on obtient un minimum local contraint strict.

Le point important est le suivant : l’objectif $x+y$ est linéaire, donc sa hessienne est nulle. Si l’on regardait uniquement $H_f$, on ne pourrait rien conclure. La courbure pertinente provient ici entièrement de la contrainte, via le terme :

C’est pourquoi, avec une contrainte non linéaire, remplacer la hessienne du lagrangien par la seule hessienne de l’objectif est une erreur.

7. Le raccourci de la hessienne bordée

Pour deux variables et une contrainte, on peut aussi employer la hessienne bordée :

évaluée au candidat $(x^{\star },y^{\star },{\lambda }^{\star })$.

Dans ce cas particulier, son déterminant est relié à la courbure tangentielle $q$ par :

Le test devient alors très simple :

Ce raccourci est pratique en exercice, mais il vaut mieux retenir son sens géométrique : il encode le signe de la hessienne du lagrangien le long de la contrainte.

8. Procédure à appliquer en exercice

Pour un problème à deux variables avec une contrainte d’égalité, adoptez la séquence suivante.

1. Résoudre les CPO et obtenir chaque candidat $(x^{\star },y^{\star },{\lambda }^{\star })$.

2. Vérifier la régularité :

   $$\nabla g(x^{\star },y^{\star })\ne 0.$$

3. Calculer la hessienne de $\mathcal{L}$ par rapport à $x$ et $y$.

4. Évaluer cette hessienne au candidat.

5. Choisir un vecteur tangent :

   $$t=\left(\begin{array}{c}{g}_y\\ -g_x\end{array}\right).$$

6. Calculer :

   $$q=t^{\mathsf{T}}{H}_{\mathcal{L}}t.$$

7. Conclure avec le signe de $q$.

Les erreurs les plus fréquentes sont les suivantes :

• utiliser la hessienne de $f$ au lieu de celle de $\mathcal{L}$, alors que la contrainte est non linéaire ;
• tester la hessienne dans toutes les directions, comme dans un problème sans contrainte ;
• inclure $\lambda$ comme une variable de décision dans la hessienne de second ordre ;
• conclure lorsque $q=0$ : ce cas demande une analyse plus fine ;
• appeler « maximum global » un résultat qui ne garantit pour l’instant qu’un maximum local.

À retenir

Pour un candidat issu des CPO d’un problème avec une contrainte d’égalité,

la condition du second ordre s’appuie sur :

et non, en général, sur la seule hessienne de l’objectif.

On teste cette hessienne uniquement sur les déplacements tangents à la contrainte :

Dans le cas de deux variables et d’une contrainte, prenez :

Alors :

La prochaine leçon donnera une interprétation économique du multiplicateur de Lagrange : il ne sera plus seulement une inconnue technique, mais la valeur marginale associée au relâchement de la contrainte.