Règle de Cramer et Déterminants

1. Le Principe de la Règle de Cramer

La règle de Cramer est une formule directe qui exprime la solution d'un système d'équations linéaires AX = B sous forme de quotients de déterminants.

Pour un système de n équations à n inconnues, la condition fondamentale est que le déterminant de la matrice des coefficients A soit non nul (det(A) ≠ 0). Si cette condition est remplie, le système est dit "de Cramer" et admet une solution unique.

Chaque inconnue x_i (par exemple, x, y ou z) est alors donnée par la formule :
$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}$
Où :

• det(A) est le déterminant de la matrice des coefficients A.
• det(A_i) est le déterminant de la matrice A où la i-ème colonne a été remplacée par le vecteur des constantes B.

L'image suivante illustre parfaitement cette règle pour un système 3x3, qui sera notre principal cas d'usage.

Pour commencer en douceur, voyons comment cela s'applique à un système 2x2.

2. Application aux Systèmes 3x3 : La Méthode Complète

La véritable utilité de la règle de Cramer se manifeste dans les systèmes 3x3. La procédure est très méthodique et se prête bien à une approche axée sur le calcul.

Les étapes sont les suivantes :

1. Écrire le système sous forme matricielle AX = B et identifier la matrice A et le vecteur B.
2. Calculer le déterminant det(A). Si det(A) = 0, la méthode s'arrête. Sinon, on continue. C'est une excellente occasion de réviser les méthodes de calcul de déterminant 3x3 (règle de Sarrus, développement par cofacteurs).
3. Construire les matrices A_x, A_y, et A_z.
   • Pour A_x, remplacer la 1ère colonne de A par B.
   • Pour A_y, remplacer la 2ème colonne de A par B.
   • Pour A_z, remplacer la 3ème colonne de A par B.
4. Calculer det(A_x), det(A_y), et det(A_z).
5. Trouver la solution en appliquant les formules :
   $x=\frac{\det (A_x)}{\det (A)},y=\frac{\det (A_y)}{\det (A)},z=\frac{\det (A_z)}{\det (A)}$

La vidéo suivante démontre ce processus de manière très claire et pratique, en commençant par le calcul du déterminant principal, puis en appliquant les formules.

L'image ci-dessous résume le résultat final d'un autre exercice. Vous pouvez l'utiliser comme une référence rapide pour voir comment les différentes matrices sont construites.

3. Le Cas Particulier : det(A) = 0

Que se passe-t-il si le déterminant de la matrice des coefficients est nul ?

Dans ce cas, la règle de Cramer ne s'applique pas car elle mènerait à une division par zéro. Un det(A) = 0 signifie que le système n'a pas de solution unique. Il peut avoir :

• Aucune solution (système incompatible).
• Une infinité de solutions (système dépendant).

La règle de Cramer ne permet pas de distinguer ces deux cas. Pour le faire, il faut revenir à une autre méthode, comme le pivot de Gauss que nous avons étudié au Module 3.

Le document ci-dessous illustre comment procéder lorsque vous rencontrez un déterminant nul.

Conclusion

Vous avez maintenant une deuxième méthode matricielle pour résoudre des systèmes linéaires. La règle de Cramer est un outil direct et algorithmique, parfaitement adapté à votre approche orientée vers la résolution d'exercices.

Points clés à retenir :

• La règle de Cramer ne s'applique qu'aux systèmes carrés (n équations, n inconnues) où det(A) ≠ 0.
• La solution pour chaque variable x_i est un ratio de deux déterminants : det(A_i) / det(A).
• La matrice A_i est obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur des constantes B.
• Si det(A) = 0, le système n'a pas de solution unique, et il faut utiliser une autre méthode (comme le pivot de Gauss) pour déterminer s'il y a une infinité de solutions ou aucune.

Avec la méthode de la matrice inverse et la règle de Cramer, vous êtes maintenant très bien équipé pour aborder l'Exercice 9.

Dans les prochaines leçons, nous nous concentrerons sur d'autres types d'exercices que vous avez listés (Exercices 5, 6, 7 et 10), qui impliquent des techniques de calcul matriciel plus spécifiques comme les puissances de matrices ou l'utilisation d'équations polynomiales.