Résolution de systèmes linéaires par la matrice inverse

1. Le Principe Fondamental

La résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode de l'inverse est une généralisation directe de la résolution d'une simple équation comme $5x=10$. Pour trouver $x$, vous multipliez les deux côtés par l'inverse de 5, c'est-à-dire $1/5$, ce qui donne $x=(1/5)\times 10=2$.

En algèbre linéaire, l'idée est exactement la même. Un système d'équations peut s'écrire sous la forme compacte $AX=B$, où :

• $A$ est la matrice des coefficients des inconnues.
• $X$ est le vecteur (matrice colonne) des inconnues (par ex., $x,y,z$).
• $B$ est le vecteur (matrice colonne) des termes constants.

Pour "isoler" le vecteur $X$, on multiplie les deux côtés de l'équation par la matrice inverse $A^{-1}$.

Le document suivant formalise cette idée et la procédure qui en découle.

2. La Méthode Étape par Étape

La procédure à suivre est donc très structurée :

1. Mise en Forme Matricielle : Traduisez le système d'équations linéaires sous la forme $AX=B$.
2. Calcul de l'Inverse : Calculez l'inverse de la matrice des coefficients, $A^{-1}$. Vous utiliserez principalement la méthode de Gauss-Jordan que nous avons vue dans la leçon précédente. C'est à cette étape que vous vérifiez si $A$ est bien inversible. Si vous obtenez une ligne de zéros dans la partie gauche de votre matrice augmentée, le système n'a pas de solution unique et cette méthode ne s'applique pas.
3. Calcul de la Solution : Calculez le produit matriciel $X=A^{-1}B$.
4. Interprétation : Le vecteur colonne $X$ que vous obtenez contient les valeurs des inconnues $x,y,z,...$ dans l'ordre.

Voyons cela en action avec un exemple simple.

3. Application à un Système 3x3

Maintenant, appliquons cette méthode à un cas plus complexe qui correspond à ce que vous rencontrerez dans vos exercices. La logique reste identique, mais le calcul de l'inverse demande plus de travail, d'où l'importance de bien maîtriser la méthode de Gauss-Jordan.

L'exemple suivant détaille la résolution d'un système 3x3. Le calcul de l'inverse est montré en entier.

L'image ci-dessous résume visuellement tout le processus pour un système 3x3. Vous pouvez voir comment le système est d'abord transformé en équation matricielle, puis comment la solution est obtenue en multipliant le vecteur constant $B$ par l'inverse de la matrice des coefficients $A$.

4. À vous de jouer : Exercice d'application

Il est temps de mettre en pratique. L'exercice suivant est tiré d'une feuille d'exercices type et correspond parfaitement à vos objectifs.

Exercice :

1. Soit la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -2& 3& 4\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$. Démontrez que $M$ est inversible et calculez $M^{-1}$. (Vous devriez utiliser la méthode de Gauss-Jordan).
2. En déduire les solutions du système : $$\{\begin{array}{rcl}x-z& =& m\\ -2x+3y+4z& =& 1\\ y+z& =& 2m\end{array}$$ (où $m$ est un paramètre réel)

Prenez le temps de résoudre cet exercice par vous-même. La première question est une révision de la leçon précédente, et la seconde est l'application directe de ce que nous venons de voir.

...

Une fois que vous avez terminé, consultez la solution détaillée ci-dessous pour vérifier votre travail.

Conclusion

Félicitations ! Vous avez ajouté une méthode matricielle puissante à votre arsenal pour la résolution de systèmes linéaires. C'est un outil particulièrement efficace lorsque vous devez résoudre plusieurs systèmes ayant la même matrice de coefficients $A$ mais des seconds membres $B$ différents.

Les points clés à retenir sont :

• Un système d'équations linéaires peut être écrit sous la forme $AX=B$.
• Si la matrice $A$ est carrée et inversible, le système admet une solution unique donnée par $X=A^{-1}B$.
• L'ordre de la multiplication est essentiel : c'est toujours $A^{-1}B$.
• La méthode se décompose en trois grandes étapes : mise en forme matricielle, calcul de l'inverse, et multiplication pour trouver la solution.

Dans la prochaine leçon, nous explorerons une autre méthode matricielle pour résoudre des systèmes, la règle de Cramer. Elle utilise les déterminants, un concept que nous avons déjà abordé, et vous offrira une alternative pour résoudre ce même type de problème.