Calcul de A^T A et inversion de A

1. Le principe : utiliser le produit AᵀA

Rappelons-nous la définition de l'inverse : une matrice $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I_n$. Cette matrice $B$ est alors notée $A^{-1}$.

L'idée de la méthode d'aujourd'hui est de calculer le produit de $A$ avec sa transposée, $A^T$. Imaginons que ce calcul nous donne un résultat très simple, comme une matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale sont identiques et non nuls. Autrement dit, supposons que nous trouvions :
$A^{T}A=k\cdot I_n$
où $k$ est un scalaire (un nombre réel) non nul et $I_n$ est la matrice identité.

À partir de cette relation, nous pouvons très facilement isoler l'inverse. En multipliant des deux côtés par $1/k$, on obtient :
$\frac{1}{k}{A}^{T}A=I_n$
Si nous comparons cette équation à la définition de l'inverse $A^{-1}A=I_n$, nous pouvons immédiatement identifier l'inverse de $A$.

La conclusion est directe : si $A^{T}A=k\cdot I_n$, alors la matrice $A$ est inversible et son inverse est :
$A^{-1}=\frac{1}{k}{A}^T$

2. Le cas des matrices orthogonales

Le cas le plus important et le plus fréquent où cette technique s'applique est celui où le scalaire $k$ est égal à 1.

Définition : Matrice orthogonale
Une matrice carrée $A$ est dite orthogonale si le produit de sa transposée par elle-même donne la matrice identité.
$A^{T}A=I_n$
Dans ce cas, la formule de l'inverse devient encore plus simple. Puisque $k=1$, nous avons :
$A^{-1}=A^T$
Pour une matrice orthogonale, l'inverse est simplement sa transposée. C'est un raccourci considérable, car le calcul d'une transposée est immédiat, alors que la méthode de Gauss-Jordan ou des cofacteurs peut être longue et source d'erreurs.

Le document suivant formalise cette définition et ses conséquences pratiques.

3. Exemple de calcul : une approche méthodique

Voyons comment appliquer cela concrètement pour résoudre un exercice. Prenons la matrice $A$ suivante :
$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ -2& 2& -1\end{array}\right)$
L'objectif est de vérifier si $A$ est orthogonale et, si oui, de donner son inverse.

Étape 1 : Calculer la transposée $A^T$.
Pour transposer, on échange les lignes et les colonnes. Le facteur $1/3$ reste inchangé.
$A^T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 2& -2& -1\end{array}\right)$

Étape 2 : Calculer le produit $A^{T}A$.
$A^{T}A={\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 2& -2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& -2\\ -2& 2& -1\end{array}\right)$
Calculons d'abord le produit des deux matrices :

Maintenant, réintégrons le facteur $1/9$ :
$A^{T}A=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 9& 0\\ 0& 0& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3$

Étape 3 : Conclure.
Nous avons montré que $A^{T}A=I_3$. La matrice $A$ est donc orthogonale. Par conséquent, elle est inversible et son inverse est simplement sa transposée :
$A^{-1}=A^T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 2& -2& -1\end{array}\right)$

Cet exemple illustre à quel point la méthode est efficace lorsque la matrice a cette propriété. Le document suivant vous propose un autre exemple résolu avec une matrice 3x3, qui suit une logique très similaire mais formulée en termes de normes et de produits scalaires des vecteurs colonnes (ce qui est mathématiquement équivalent au calcul de $A^{T}A$).

Conclusion

Cette leçon vous a armé d'une nouvelle technique pour identifier l'inversibilité et calculer l'inverse d'une matrice. Elle est particulièrement utile pour votre Exercice 5 et constitue une méthode de choix lorsque vous suspectez qu'une matrice pourrait être orthogonale.

Points clés à retenir :

• Si le calcul du produit $A^{T}A$ donne une matrice de la forme $k\cdot I_n$ (avec $k\ne 0$), alors $A$ est inversible.
• L'inverse est donné par la formule $A^{-1}=\frac{1}{k}{A}^T$.
• Un cas particulier fondamental est celui des matrices orthogonales, pour lesquelles $A^{T}A=I_n$.
• Pour une matrice orthogonale, l'inverse est tout simplement sa transposée : $A^{-1}=A^T$.

Dans la prochaine leçon, nous continuerons d'explorer les "techniques spécifiques de calcul matriciel" en nous attaquant à votre Exercice 6. Nous verrons comment utiliser une relation polynomiale (par exemple, $B^2+3B+2I_2=0$) pour démontrer qu'une matrice est inversible et pour trouver son inverse.