Calcul d'Expressions Polynomiales de Matrices

Bonjour,

Dans la leçon précédente, nous avons vu comment le calcul du produit $A^{T} A$ peut parfois nous offrir une méthode très rapide pour déterminer l'inverse d'une matrice, notamment pour les matrices orthogonales. Nous continuons aujourd'hui notre exploration des techniques de calcul matriciel en abordant une autre méthode astucieuse, qui vous sera directement utile pour l'Exercice 6 de votre liste.

L'objectif de cette leçon est d'apprendre à "Calculer une expression polynomiale d'une matrice (ex : B² + 3B + 2I)". Nous verrons d'abord comment effectuer ce type de calcul, puis, et c'est là que réside la puissance de cette méthode, comment une simple équation polynomiale peut nous permettre de prouver qu'une matrice est inversible et de trouver son inverse sans passer par des méthodes plus lourdes comme le pivot de Gauss.

1. Qu'est-ce qu'un polynôme de matrice ?

Un polynôme de matrice est une expression de la forme $P (A) = c_{n} A^{n} + c_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + c_{1} A + c_{0} I_{p}$ , où $A$ est une matrice carrée, les $c_{i}$ sont des scalaires (des nombres), et $I_{p}$ est la matrice identité de même taille que $A$ .

Le calcul d'une telle expression se fait en respectant l'ordre des opérations :

Calculer les puissances de la matrice : $A^{2} = A \cdot A$ , $A^{3} = A^{2} \cdot A$ , etc.
Multiplier chaque puissance par son coefficient scalaire.
Additionner toutes les matrices obtenues.

Une erreur fréquente est d'oublier la matrice identité pour le terme constant. Par exemple, dans l'expression $B^{2} + 3 B + 2 I_{2}$ , le terme "2" est en réalité $2 I_{2}$ . On ne peut pas additionner un scalaire à une matrice ; il faut donc le multiplier par la matrice identité pour que les dimensions soient compatibles.

La vidéo suivante illustre parfaitement le calcul d'une telle expression pour une matrice 2x2.

Montrer qu'une matrice est inversible en utilisant une relation du type A²-3A+2I=0 • spé maths

Cette vidéo de la chaîne jaicompris Maths détaille le calcul d'une expression polynomiale matricielle, étape par étape.

Regardez la première partie de la vidéo, où le calcul de A^2 - 3A + 2I_2 est effectué. Concentrez-vous sur la méthode : le calcul de A² d'abord, puis la construction de l'expression complète en veillant à bien utiliser la matrice identité I_2. Le résultat final est la matrice nulle.

2. Utiliser un polynôme annulateur pour trouver l'inverse

L'intérêt principal de ces calculs apparaît lorsqu'on trouve qu'un polynôme donne la matrice nulle. On parle alors de polynôme annulateur. Par exemple, dans la vidéo, on a montré que $A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = O$ , où $O$ est la matrice nulle.

Comment utiliser cette équation pour trouver $A^{- 1}$ ? L'idée est de la manipuler pour obtenir une relation de la forme $A \cdot C = I_{2}$ , où $C$ sera notre matrice inverse.

Suivons le raisonnement :

On part de l'équation : $A^{2} - 3 A + 2 I_{2} = O$ .
On isole le terme avec la matrice identité : $A^{2} - 3 A = - 2 I_{2}$ .
On factorise par $A$ à gauche dans le membre de gauche. Attention, il faut être rigoureux ici :
$A \cdot A - 3 A = A (A - 3 I_{2})$
On ne peut pas écrire $A (A - 3)$ , car $A - 3$ (une matrice moins un scalaire) n'a pas de sens. La factorisation correcte est $A (A - 3 I_{2})$ .
L'équation devient : $A (A - 3 I_{2}) = - 2 I_{2}$ .
On veut obtenir $I_{2}$ seul à droite. Pour cela, on multiplie toute l'équation par le scalaire $- \frac{1}{2}$ :
$A (- \frac{1}{2} (A - 3 I_{2})) = I_{2}$
Nous avons maintenant une équation de la forme $A \cdot C = I_{2}$ , avec $C = - \frac{1}{2} (A - 3 I_{2})$ . Ceci prouve que $A$ est inversible et que son inverse est :
$A^{- 1} = - \frac{1}{2} (A - 3 I_{2})$

La suite de la vidéo précédente explique précisément cette démarche.

Montrer qu'une matrice est inversible en utilisant une relation du type A²-3A+2I=0 • spé maths

Cette partie de la vidéo vous montre comment exploiter l'équation polynomiale pour en déduire l'inverse.

Regardez attentivement le raisonnement à partir de l'équation nulle. Portez une attention particulière à la factorisation par A, qui est une étape cruciale et une source d'erreur fréquente. Enfin, suivez les étapes qui mènent à l'expression de l'inverse, A^{-1}. Le calcul final des coefficients de la matrice inverse est également montré à la fin.

3. Application à des matrices de plus grande taille

La méthode reste exactement la même pour des matrices de n'importe quelle taille. La vidéo suivante montre un exemple avec une matrice 3x3 et un polynôme de degré 3, $A^{3} - A^{2} + A - I_{3}$ . Les calculs sont plus longs, mais la logique est identique.

Calcul de l'inverse d'une matrice par des calculs. Exercice corrigé

Cette vidéo de la chaîne "les maths faciles avec Ahmed AICHI" applique la méthode à une matrice 3x3.

Vous pouvez suivre les calculs en séquence pour voir comment les puissances de la matrice sont obtenues : Le calcul de A au carré. Le calcul de A au cube. Le calcul final de l'expression A³ - A² + A - I₃, qui se révèle être la matrice nulle. Même si la vidéo ne procède pas ensuite au calcul de l'inverse, vous pourriez le faire vous-même en suivant la même logique : isoler I_3 et factoriser par A. A^3 - A^2 + A = I_3 \implies A(A^2 - A + I_3) = I_3. On en déduit que A^{-1} = A^2 - A + I_3.

Pour vous exercer, la ressource suivante propose plusieurs cas similaires.

Exercices corrigés -Matrices : inverses de matrices

Cette page de Bibm@th contient plusieurs exercices résolus où l'inverse d'une matrice est déduit d'une relation polynomiale.

Concentrez-vous sur l'Exercice 4. Lisez l'énoncé des trois questions. Chaque question propose une matrice et une relation polynomiale différente. Ensuite, examinez le corrigé succinct pour chaque question. Observez comment, à chaque fois, l'équation est réarrangée pour isoler I_n et identifier l'inverse, exactement comme nous l'avons fait.

Conclusion

Cette leçon vous a montré comment le calcul d'une expression polynomiale d'une matrice, bien que potentiellement fastidieux, peut se transformer en un outil très puissant pour déterminer l'inverse d'une matrice. Cette méthode est au cœur de votre Exercice 6.

Points clés à retenir :

Pour calculer une expression comme $c_{2} A^{2} + c_{1} A + c_{0}$ , il faut en réalité calculer $c_{2} A^{2} + c_{1} A + c_{0} I$ .
Si une matrice $A$ satisfait une équation polynomiale qui égale la matrice nulle (ex: $P (A) = O$ ), on appelle ce polynôme un polynôme annulateur.
En manipulant algébriquement l'équation $P (A) = O$ , on peut souvent isoler la matrice identité d'un côté et obtenir une expression de la forme $A \cdot C = I$ .
Cette expression prouve que $A$ est inversible et que $A^{- 1} = C$ .

Dans la prochaine leçon, nous aborderons l'Exercice 7, qui demande de calculer les puissances $A^{n}$ d'une matrice. Nous verrons une technique très efficace pour cela, qui consiste à décomposer la matrice $A$ (par exemple, $A = B + I$ ) et à utiliser la formule du binôme de Newton, que vous connaissez peut-être pour les nombres, mais qui s'applique aussi aux matrices qui commutent.

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2. Utiliser un polynôme annulateur pour trouver l'inverse

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Conclusion