Inversion matricielle via équation polynomiale

1. Le principe fondamental : quand un polynôme révèle l'inverse

La clé de cette méthode réside dans une propriété élégante : si une matrice carrée $A$ annule un polynôme $P(X)$ dont le terme constant est non nul, alors $A$ est garantie d'être inversible.

L'article suivant, "Les polynômes annulateurs" de Major Prépa, formalise très bien cette idée. Il explique pourquoi cette condition sur le terme constant est cruciale et expose la méthode générale pour extraire l'inverse.

La méthode systématique est donc la suivante :

1. Partir de l'équation polynomiale annulatrice : $P(A)=a_k{A}^k+\cdots +a_{1}A+a_{0}I=O$.
2. S'assurer que le terme constant $a_0$ est non nul.
3. Isoler le terme contenant l'identité : $a_k{A}^k+\cdots +a_{1}A=-a_{0}I$.
4. Factoriser par $A$ à gauche : $A(a_k{A}^{k-1}+\cdots +a_{1}I)=-a_{0}I$.
5. Multiplier par le scalaire $-\frac{1}{a_0}$ pour obtenir $I$ seul à droite :
   $A\left[-\frac{1}{a_0}(a_k{A}^{k-1}+\cdots +a_{1}I)\right]=I$
6. Conclure que $A$ est inversible, avec $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(a_k{A}^{k-1}+\cdots +a_{1}I)$.

2. Méthode en action : un exemple complet avec une matrice 3x3

Voyons maintenant comment cette procédure s'applique à un cas concret, qui est très similaire à l'un de vos exercices. L'image ci-dessous présente un exercice typique.

La vidéo suivante, de la chaîne jaicompris Maths, résout cet exercice de A à Z. Elle vous montrera d'abord comment vérifier la relation polynomiale (un bon rappel de notre leçon précédente), puis comment l'exploiter pour trouver l'inverse.

3. Un cas particulier puissant : l'inverse de $I-A$

La méthode des polynômes annulateurs peut être étendue à des situations qui ne semblent pas polynomiales au premier abord. Un cas d'école très utile est celui des matrices nilpotentes, c'est-à-dire des matrices $A$ pour lesquelles il existe un entier $p$ tel que $A^p=O$ (la matrice nulle).

L'équation $A^p=0$ est une forme de relation polynomiale très simple. On peut l'utiliser pour montrer que la matrice $I-A$ est toujours inversible. L'astuce s'inspire de l'identité remarquable sur les suites géométriques :
$(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{p-1})=1-x^p$
Pour les matrices, cela se traduit par :
$(I-A)(I+A+A^2+\cdots +A^{p-1})=I-A^p$
Puisque $A^p=O$, l'équation devient :
$(I-A)(I+A+A^2+\cdots +A^{p-1})=I$
Ceci prouve que $I-A$ est inversible et que son inverse est $(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+\cdots +A^{p-1}$.

L'exercice suivant du site Bibm@th formalise cette idée.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons solidifié votre compréhension d'une technique puissante pour trouver l'inverse d'une matrice. Vous êtes maintenant bien équipé pour résoudre l'Exercice 6.

Les points clés à retenir sont :

• Une matrice $A$ est inversible si elle annule un polynôme $P(X)$ dont le terme constant est non nul.
• La méthode consiste à manipuler l'équation $P(A)=O$ pour obtenir une relation de la forme $A\cdot C=I$, où $C$ est alors l'inverse de $A$.
• Les étapes sont toujours les mêmes : isoler le terme en $I$, factoriser par $A$, et diviser par le scalaire approprié.
• Cette technique s'applique aussi à des cas particuliers comme les matrices nilpotentes, où l'inverse de $I-A$ peut être trouvé via une somme de puissances de $A$.

Dans notre prochaine leçon, nous aborderons l'Exercice 7, qui consiste à calculer les puissances $A^n$ d'une matrice. Nous verrons comment la décomposition d'une matrice (par exemple $A=B+I$) et l'utilisation de la formule du binôme de Newton peuvent grandement simplifier ces calculs.