Calcul de Aⁿ par décomposition et formule du binôme

1. Le binôme de Newton pour les matrices : une condition essentielle

Vous connaissez probablement la formule du binôme pour les nombres réels ou complexes : $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$. Cette formule a un équivalent direct pour les matrices, mais avec une condition supplémentaire cruciale.

Si $X$ et $Y$ sont deux matrices carrées de même taille, la formule du binôme de Newton s'applique :
$(X+Y{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})X^k{Y}^{n-k}$
... à la condition impérative que les matrices $X$ et $Y$ commutent, c'est-à-dire que $XY=YX$.

Pourquoi cette condition est-elle si importante ? Prenons le cas simple de $n=2$ :
$(X+Y{)}^2=(X+Y)(X+Y)=X(X+Y)+Y(X+Y)=X^2+XY+YX+Y^2$
Pour regrouper les termes du milieu en $2XY$, il est indispensable que $XY=YX$. Sans cette commutativité, la formule du binôme est fausse.

Heureusement, pour les exercices que vous devez résoudre, la situation est idéale. La méthode consiste à décomposer la matrice $A$ en une somme de la forme :
$A=B+\lambda I$
où $I$ est la matrice identité et $\lambda$ est un scalaire. Dans ce cas, les deux matrices de la somme, $B$ et $\lambda I$, commutent toujours. En effet, la matrice identité commute avec n'importe quelle matrice :
$B\cdot (\lambda I)=\lambda (B\cdot I)=\lambda B$
$(\lambda I)\cdot B=\lambda (I\cdot B)=\lambda B$
Nous avons donc bien $B(\lambda I)=(\lambda I)B$, ce qui nous autorise à utiliser la formule du binôme.

2. L'ingrédient secret : les matrices nilpotentes

La méthode devient particulièrement puissante si la matrice $B$ de notre décomposition est nilpotente. Une matrice $B$ est dite nilpotente s'il existe un entier $p$ tel que $B^p=O$ (la matrice nulle).

L'intérêt est que, dans ce cas, la somme du binôme de Newton, qui semble infinie en théorie, devient une somme finie et très courte. Tous les termes contenant $B^k$ pour $k\ge p$ seront nuls !

Par exemple, si $B^3=O$, alors la formule du binôme pour $A^n=(B+I{)}^n$ se simplifie radicalement :
$A^n={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)B^k{I}^{n-k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)B^0{I}^n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)B^1{I}^{n-1}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)B^2{I}^{n-2}+\underset{\text{tous nuls}}{\underbrace{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)B^3{I}^{n-3}+\dots }}$
Comme $B^0=I$ et $I^k=I$, le calcul se réduit à :
$A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}{2}{B}^2$
Le calcul de $A^n$ pour un $n$ quelconque se ramène ainsi à un simple polynôme en $n$.

3. La méthode en pratique : un exemple détaillé

La vidéo suivante, de la chaîne Méthode Maths, illustre parfaitement cette méthode sur une matrice 2x2. Suivez attentivement les étapes, car elles constituent le plan que vous appliquerez systématiquement.

4. Application à un cas 3x3 (type Exercice 7)

Maintenant que vous avez vu le principe, appliquons-le à un cas 3x3, très similaire à celui de votre exercice. La vidéo suivante vous guide à travers exactement le même processus.

Pour renforcer votre compréhension, voici le même exercice traité dans un format texte sur le site Bibm@th. Cela vous permettra de revoir la méthode à votre propre rythme.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons appris une méthode structurée et efficace pour calculer $A^n$, ce qui vous prépare directement à l'Exercice 7.

Les points clés à retenir sont :

1. Décomposer la matrice $A$ en $A=B+\lambda I$.
2. Calculer les puissances de B ($B^2,B^3,\dots$) jusqu'à trouver la matrice nulle $B^p=O$.
3. Appliquer la formule du binôme de Newton à $(B+\lambda I{)}^n$, en sachant que les deux matrices commutent.
4. Simplifier la somme en ne gardant que les termes de $k=0$ à $k=p-1$, puis remplacer $I$, $B$, $B^2$, etc., par leurs valeurs pour obtenir la matrice finale $A^n$.

Dans notre prochaine leçon, nous explorerons une autre technique pour calculer $A^n$ qui est utile lorsque la décomposition avec une matrice nilpotente n'est pas évidente : l'identification d'un motif ou d'une récurrence en calculant les premières puissances de $A$.