Matrice d'une application linéaire dans les bases canoniques

1. La règle de construction : des vecteurs aux colonnes

Le passage de l'application à la matrice est un processus mécanique qui suit une règle simple et directe. Pour une application linéaire $f$ allant d'un espace de départ $E$ (de dimension $p$) à un espace d'arrivée $F$ (de dimension $n$), la matrice associée $A$ dans les bases canoniques est construite comme suit :

La $j$-ème colonne de la matrice $A$ est le vecteur image $f(e_j)$.

C'est tout. On calcule chaque $f(e_j)$, qui est un vecteur de l'espace d'arrivée, et on l'écrit verticalement pour former une colonne de la matrice. Si l'espace de départ est ${\mathbb{R}}^p$ et l'arrivée est ${\mathbb{R}}^n$, la matrice aura $n$ lignes et $p$ colonnes.

Le diagramme suivant illustre parfaitement ce flux :

2. Méthode : Un exemple pas à pas

Reprenons l'exemple de la leçon précédente. Soit l'application linéaire $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par :

La base canonique de l'espace de départ ${\mathbb{R}}^3$ est $\{e_1,e_2,e_3\}$. L'espace d'arrivée est ${\mathbb{R}}^2$. La matrice $A$ aura donc 2 lignes et 3 colonnes.

Dans la leçon précédente, nous avons calculé les images :

• $f(e_1)=f(1,0,0)=(1,2)$
• $f(e_2)=f(0,1,0)=(1,0)$
• $f(e_3)=f(0,0,1)=(-1,1)$

Maintenant, nous les assemblons en une matrice :

1. Le vecteur $f(e_1)=(1,2)$ devient la première colonne : $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.
2. Le vecteur $f(e_2)=(1,0)$ devient la deuxième colonne : $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.
3. Le vecteur $f(e_3)=(-1,1)$ devient la troisième colonne : $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$.

La matrice de $f$ dans les bases canoniques est donc :

La vidéo suivante, de Bibmath, formalise cette définition et l'applique à un exemple très similaire.

3. Visualisation et pratique

Une fois que l'on a calculé les images, la construction de la matrice est une simple réorganisation. L'image ci-dessous, bien que simple, illustre ce point crucial. Les vecteurs images $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ sont les colonnes de la matrice. Les composantes de ces vecteurs images (selon les vecteurs de base de l'espace d'arrivée, $e_1^{\prime }$ et $e_2^{\prime }$) forment les lignes.

Pour solidifier cette méthode, le mieux est de la voir appliquée à des exercices. Le document suivant de Bibmath est parfait pour cela, car il décompose le processus de manière systématique.

Un autre document, avec une présentation légèrement différente, vous donnera encore plus d'exemples. La redondance est volontaire et vous aidera à automatiser le processus.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons franchi une étape décisive en passant de la définition d'une application linéaire à sa représentation matricielle.

Les points clés à retenir sont :

• La matrice $A$ d'une application linéaire $f:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^n$ (dans les bases canoniques) est de taille $n\times p$.
• La méthode de construction est simple : calculer les images des vecteurs de la base de départ, $f(e_1),f(e_2),\dots ,f(e_p)$, et les utiliser comme colonnes de la matrice $A$.
• Ce processus est mécanique et constitue la base de la résolution de l'Exercice 3.

Maintenant que vous savez comment transformer une application en matrice, la prochaine étape logique est de faire le chemin inverse. Dans la prochaine leçon, nous verrons comment, à partir d'une matrice $A$, on peut retrouver l'expression de l'application $f$ pour n'importe quel vecteur $v$. Cela bouclera la boucle et vous donnera une compréhension complète du lien entre ces deux objets.