"De la matrice à l'expression linéaire : Le produit matriciel."

1. Le principe fondamental : $Y=AX$

La relation entre une application linéaire $f$, sa matrice $A$, un vecteur d'entrée $v$ et son vecteur image $f(v)$ est remarquablement directe. Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées de $v$ et $Y$ est le vecteur colonne des coordonnées de $f(v)$, alors leur relation est donnée par une simple multiplication matricielle :

En d'autres termes, pour trouver l'expression de $f(v)$, il suffit de multiplier la matrice $A$ de l'application par le vecteur colonne représentant $v$.

Le document suivant formalise ce principe.

2. La méthode en pratique

Maintenant, voyons comment appliquer ce théorème. La méthode est un pur calcul, ce qui devrait bien correspondre à votre approche pratique. La vidéo ci-dessous en est une excellente démonstration.

3. Exemple détaillé : Boucler la boucle

Pour bien ancrer la méthode, reprenons la matrice que nous avons construite dans la leçon précédente. L'application était $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z)$, et sa matrice était :

Maintenant, prétendons que nous ne connaissons que la matrice $A$ et que nous voulons retrouver l'expression de $f$.

1. On prend un vecteur générique de l'espace de départ ${\mathbb{R}}^3$, soit $v=(x,y,z)$. On l'écrit sous forme de vecteur colonne :

   $$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

2. On calcule le produit matriciel $Y=AX$ :

   $$Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

3. On effectue la multiplication :

   • La première composante (première ligne de $A$ fois $X$) est : $1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z=x+y-z$.
   • La deuxième composante (deuxième ligne de $A$ fois $X$) est : $2\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=2x+z$.

4. Le vecteur résultant $Y$ est donc :

   $$Y=\left(\begin{array}{c}x+y-z\\ 2x+z\end{array}\right)$$

   Ce vecteur $Y$ représente les coordonnées de l'image $f(v)$. On peut donc conclure que l'expression de l'application est :

   $$f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z)$$

   Nous avons bien retrouvé l'application d'origine. Les deux processus, construction et déconstruction, sont les deux faces de la même médaille.

4. Application dans les exercices

Voyons maintenant comment cette technique apparaît dans les exercices, car c'est souvent la première étape pour résoudre des problèmes plus complexes comme la recherche du noyau.

Comme vous pouvez le constater, savoir retrouver l'expression d'une application à partir de sa matrice est une compétence de base qui débloque la résolution de nombreux autres problèmes.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons fermé la boucle reliant les applications linéaires et leurs matrices. Vous êtes maintenant capable non seulement de construire la matrice d'une application, mais aussi de retrouver l'application à partir de sa matrice.

Le point essentiel à retenir est la méthode de calcul :

• L'expression de l'image $f(v)$ s'obtient par le produit matriciel $A\cdot v$, où $A$ est la matrice de $f$ et $v$ est le vecteur d'entrée écrit en colonne.
• Le résultat est un vecteur colonne dont les composantes vous donnent l'expression analytique de l'image.

Maintenant que vous maîtrisez la traduction entre ces deux mondes, nous allons nous équiper d'un outil de calcul extrêmement puissant pour résoudre les problèmes qui en découlent. Dans la prochaine leçon, nous aborderons la résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode du pivot de Gauss. Comme vous l'avez vu dans les exercices, trouver un noyau ($\ker (f)$) revient à résoudre un système $AX=0$. Le pivot de Gauss est la méthode systématique pour y parvenir.