Bonjour,
Dans la leçon précédente, nous avons vu comment, à partir de la matrice d'une application linéaire, on pouvait retrouver l'expression de l'image par le calcul du produit matriciel . Nous allons maintenant voir que cette même structure est extraordinairement utile pour représenter un tout autre objet mathématique : les systèmes d'équations linéaires.
L'objectif de cette leçon est donc de vous apprendre à traduire un système d'équations linéaires en une équation matricielle de la forme . C'est la première étape fondamentale pour résoudre ces systèmes à l'aide de l'arsenal de l'algèbre linéaire, une compétence directement requise pour l'un de vos exercices cibles (Exercice 9). Cette transformation est non seulement une simplification d'écriture, mais elle ouvre la voie à des méthodes de résolution systématiques et puissantes.
1. Du système à la matrice : le principe
Un système d'équations linéaires peut sembler complexe, mais il est structuré de manière très régulière. L'écriture matricielle exploite cette régularité pour condenser toute l'information en trois matrices distinctes.
Voyons comment cela fonctionne. Prenons un système simple :
L'idée est de séparer :
- Les coefficients des inconnues.
- Les inconnues elles-mêmes.
- Les termes constants (le "second membre").
Cela nous donne trois matrices :
- La matrice des coefficients, notée :
- Le vecteur colonne des inconnues, noté :
- Le vecteur colonne du second membre, noté :
Pourquoi cette décomposition ? Parce que le produit matriciel nous redonne exactement le côté gauche du système d'équations initial :
Ainsi, l'égalité des matrices est parfaitement équivalente au système d'équations de départ.
La vidéo suivante, par Yvan Monka, illustre très clairement cette traduction et sa justification.
Résoudre un système à l'aide de matrices - Terminale - Maths expertes
Cette vidéo montre comment et pourquoi un système d'équations peut être réécrit sous forme matricielle. L'approche est très pragmatique et visuelle.
Concentrez-vous sur les moments clés suivants : Construction des matrices : Observez comment les matrices A (coefficients), X (inconnues) et B (constantes) sont extraites directement du système d'équations. Vérification de l'équivalence : Suivez le calcul du produit AX et voyez comment il permet de reconstruire le système initial, justifiant ainsi l'équation matricielle AX=B.
2. Généralisation et méthode
Cette méthode se généralise à n'importe quel système de équations à inconnues. Le document suivant formalise cette approche et vous donne l'occasion de vous entraîner sur d'autres exemples.
[PDF] Matrices et systèmes linéaires
Ce document fournit une définition générale et des exercices d'application immédiate pour consolider votre compréhension.
Dans ce document, lisez la première section "Écriture matricielle d’un système linéaire". Commencez par l'exemple 3x3 pour voir la méthode appliquée à un système plus grand. Lisez ensuite la définition générale. Retenez bien les deux règles d'or : la i-ème ligne de A contient les coefficients de la i-ème équation, et la j-ème colonne de A contient les coefficients de la j-ème inconnue. Enfin, à la section Exemple 2, essayez d'écrire vous-même les matrices A, X et B pour les systèmes (S1), (S2), et (S3) avant de regarder la solution implicite dans la mise en page.
3. Un exemple détaillé
Appliquons cette méthode à un système 3x3, en faisant attention aux détails. Soit le système (S) :
-
Identifier la matrice des coefficients A :
On extrait les coefficients de , et pour chaque ligne. Attention, dans la troisième équation, le coefficient de est 0. -
Identifier le vecteur des inconnues X :
Les inconnues sont , et . -
Identifier le vecteur du second membre B :
Ce sont les constantes à droite du signe égal. -
Écrire l'équation matricielle :
Le système (S) est donc équivalent à l'équation matricielle .
Cette représentation est la base de nombreuses méthodes de résolution en ingénierie. Par exemple, l'analyse des forces dans les structures en treillis (comme les ponts ou les charpentes) se ramène souvent à un grand système d'équations linéaires. Le traduire sous forme matricielle est la première étape standard pour une résolution par ordinateur.
Conclusion
Dans cette leçon, vous avez appris à effectuer une traduction essentielle : passer d'un système d'équations linéaires à une unique et compacte équation matricielle .
Les points clés sont :
- La matrice contient les coefficients des inconnues.
- Le vecteur colonne contient les inconnues.
- Le vecteur colonne contient les constantes du second membre.
- L'organisation est cruciale : les lignes de correspondent aux équations, et les colonnes de aux inconnues.
Maintenant que nous savons comment poser le problème sous cette forme, la question naturelle est : comment le résoudre ? Comment trouver le vecteur ? C'est ce que nous commencerons à explorer dans la prochaine leçon, en abordant la méthode du pivot de Gauss, un algorithme puissant et universel pour résoudre n'importe quel système d'équations linéaires.