Images des Vecteurs de Base par une Application Linéaire

Bonjour. Dans les leçons précédentes, nous avons appris à faire la distinction entre les applications linéaires et celles qui ne le sont pas. Cette compétence est fondamentale car, comme nous allons le voir, les applications linéaires possèdent une structure qui nous permet de les représenter et de les manipuler de manière très efficace.

Aujourd'hui, nous allons aborder la première étape pour construire cette représentation : calculer l'image des vecteurs de la base canonique par une application linéaire. C'est une compétence de calcul simple mais absolument cruciale. Elle constitue la pierre angulaire pour transformer une application abstraite $f (x, y, ...)$ en un objet concret et calculable : une matrice. La maîtrise de cette étape vous rapprochera directement de la résolution de l'Exercice 3 de votre liste d'objectifs.

1. La base canonique et son image

Avant de calculer quoi que ce soit, rappelons brièvement ce qu'est la base canonique. Il s'agit de la base la plus simple et la plus naturelle pour un espace vectoriel comme $R^{n}$ . Ces vecteurs sont composés de zéros, à l'exception d'un seul '1'.

Dans $R^{2}$ , la base canonique est $B = {e_{1}, e_{2}}$ avec $e_{1} = (1, 0)$ et $e_{2} = (0, 1)$ .
Dans $R^{3}$ , la base canonique est $B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ avec $e_{1} = (1, 0, 0)$ , $e_{2} = (0, 1, 0)$ et $e_{3} = (0, 0, 1)$ .

L'idée est que n'importe quel vecteur peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs de base. Par exemple, dans $R^{2}$ , un vecteur $v = (x, y)$ est simplement $v = x (1, 0) + y (0, 1) = x e_{1} + y e_{2}$ .

Calculer l'image d'un vecteur de la base canonique par une application linéaire $f$ est un processus de substitution direct. Si vous avez la définition de $f (x, y)$ , pour calculer $f (e_{1}) = f (1, 0)$ , il vous suffit de remplacer $x$ par 1 et $y$ par 0 dans l'expression de $f$ .

La vidéo suivante illustre parfaitement cette procédure de calcul.

Calcul de la matrice d'une application linéaire dans les bases canoniques [Algèbre linéaire]

Cette vidéo, "Calcul de la matrice d'une application linéaire dans les bases canoniques", montre la méthode de calcul de manière très claire et directe sur un exemple de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}^3.

Regardez d'abord la rapide introduction qui rappelle les bases canoniques. Suivez ensuite attentivement le calcul des images des deux vecteurs de base, f(e_1) et f(e_2). Observez comment il s'agit d'une simple substitution des coordonnées dans la formule de l'application.

2. Le calcul en pratique

Appliquons cette méthode. Soit l'application linéaire $f : R^{3} \to R^{2}$ définie par :

f (x, y, z) = (x + y - z, 2 x + z)

Nous voulons calculer les images des vecteurs de la base canonique de $R^{3}$ , c'est-à-dire $f (e_{1})$ , $f (e_{2})$ , et $f (e_{3})$ .

Image du premier vecteur de base, $e_{1} = (1, 0, 0)$ :
On remplace $x = 1, y = 0, z = 0$ dans la définition de $f$ . $f (1, 0, 0) = (1 + 0 - 0, 2 (1) + 0) = (1, 2)$
Image du deuxième vecteur de base, $e_{2} = (0, 1, 0)$ :
On remplace $x = 0, y = 1, z = 0$ . $f (0, 1, 0) = (0 + 1 - 0, 2 (0) + 0) = (1, 0)$
Image du troisième vecteur de base, $e_{3} = (0, 0, 1)$ :
On remplace $x = 0, y = 0, z = 1$ . $f (0, 0, 1) = (0 + 0 - 1, 2 (0) + 1) = (- 1, 1)$

Voilà tout ! Les images sont les vecteurs $(1, 2)$ , $(1, 0)$ et $(- 1, 1)$ dans l'espace d'arrivée $R^{2}$ . Ces trois vecteurs contiennent toute l'information sur l'application linéaire $f$ .

La vidéo de Bibmath ci-dessous vous montre ce même processus pour un autre exemple de $R^{3}$ dans $R^{2}$ .

Comment déterminer la matrice d'une application linéaire ?

Cette vidéo de Bibmath, "Comment déterminer la matrice d'une application linéaire ?", décompose le calcul pour chaque vecteur de base.

Regardez les trois segments courts qui montrent le calcul de F(U1), F(U2), et F(U3). C'est exactement la procédure que nous venons de décrire.

3. Pourquoi ce calcul est-il si important ?

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous nous concentrons tant sur ces vecteurs spécifiques. La raison est une propriété fondamentale des applications linéaires : si vous connaissez l'image de chaque vecteur de la base, vous pouvez déterminer l'image de n'importe quel vecteur.

Reprenons notre exemple $f (x, y, z) = (x + y - z, 2 x + z)$ . Un vecteur quelconque de $R^{3}$ s'écrit $v = (x, y, z) = x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}$ . Par linéarité de $f$ , on a :

f (v) = f (x e_{1} + y e_{2} + z e_{3}) = x f (e_{1}) + y f (e_{2}) + z f (e_{3})

En utilisant les images que nous avons calculées :

f (v) = x (1, 2) + y (1, 0) + z (- 1, 1)

f (v) = (x, 2 x) + (y, 0) + (- z, z)

f (v) = (x + y - z, 2 x + z)

Nous retrouvons bien l'expression de départ ! Cela confirme que les images des vecteurs de base, $f (e_{1}), f (e_{2}), f (e_{3})$ , définissent entièrement l'application.

C'est ce principe qui est à la base de la représentation matricielle. Comme le montre le schéma suivant, les coordonnées de ces vecteurs images deviendront tout simplement les colonnes de la matrice représentant l'application.

Cette image illustre le concept fondamental : pour construire la matrice A d'une application linéaire f, on prend chaque vecteur de la base de départ B (e₁, e₂, ...), on calcule son image par f, et on place les coordonnées de ce vecteur image dans les colonnes de la matrice A.

4. Mise en pratique avec des exercices corrigés

Pour vous familiariser avec ce calcul, le meilleur moyen est d'observer comment il est effectué dans des exercices corrigés. Le document suivant contient plusieurs exemples parfaits.

[PDF] Recueil d' Exercices et Examens avec Corrigés Détaillés Partie 2 ...

Ce recueil d'exercices est une excellente ressource pour la pratique. Nous allons nous concentrer sur le début du Chapitre 3, qui traite des matrices et des applications linéaires.

Allez à la section des Solutions du Chapitre 3 (page 41). Examinez attentivement la solution de l'Exercice 1. Pour chaque question, l'auteur commence par faire exactement ce que nous venons d'apprendre : Pour la question 1), il calcule les images de e_1, e_2, e_3. Pour la question 2), il fait de même pour une autre application. Et encore pour la question 3), où il calcule les images. Votre objectif n'est pas encore de comprendre la matrice finale, mais de bien assimiler cette première étape de calcul systématique.

Voici un autre exercice, tiré de Bibm@th, qui pose la question de manière encore plus directe.

Exercices corrigés -Matrices et applications linéaires

Cette page de Bibm@th propose des exercices ciblés.

Concentrez-vous sur deux exercices : Exercice 2 : Lisez l'énoncé de la question 2, qui demande explicitement de calculer les images des vecteurs de la base canonique. Puis, examinez le corrigé correspondant. Exercice 5 : De même, lisez la question 1 et son corrigé. Ces exemples devraient finir de consolider votre compréhension de cette procédure de calcul.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons isolé et pratiqué une compétence essentielle : le calcul des images des vecteurs de la base canonique pour une application linéaire donnée.

Les points clés à retenir sont :

La base canonique de $R^{n}$ est formée des vecteurs $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$ qui ont un '1' à la i-ème position et des '0' partout ailleurs.
Pour calculer l'image d'un vecteur de base $e_{i}$ , il suffit de substituer ses coordonnées dans l'expression de l'application linéaire.
L'ensemble des images des vecteurs de la base canonique ${f (e_{1}), f (e_{2}), ..., f (e_{n})}$ définit complètement l'application linéaire.

Maintenant que vous savez comment générer ces vecteurs images, vous disposez de tous les "ingrédients" nécessaires. Dans la prochaine leçon, nous verrons comment les assembler pour construire la matrice d'une application linéaire, ce qui nous permettra de résoudre l'Exercice 3 de votre liste.

Recommended resources

1. La base canonique et son image

2. Le calcul en pratique

3. Pourquoi ce calcul est-il si important ?

4. Mise en pratique avec des exercices corrigés

Conclusion