Prouver la Non-linéarité : Contre-Exemple et f(0) ≠ 0

1. Le test le plus rapide : l'image du vecteur nul

Rappelez-vous de la leçon précédente, une conséquence directe de la définition d'une application linéaire $f:E\to F$ est que l'image du vecteur nul de l'espace de départ $E$ est toujours le vecteur nul de l'espace d'arrivée $F$.

Cette propriété nous offre une méthode de vérification extrêmement efficace. Par contraposée, si l'image du vecteur nul n'est pas le vecteur nul, alors l'application ne peut pas être linéaire.

Par conséquent, la toute première chose à vérifier face à une application est de calculer $f(0)$.

Appliquons cela à un exemple concret que vous avez déjà rencontré.

Considérons l'application de l'Exercice 1, question 2 du document de Bibm@th :
$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,(x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$.

Pour tester la linéarité, notre premier réflexe est de calculer l'image du vecteur nul de ${\mathbb{R}}^2$, qui est $(0,0)$.

Le résultat est $(0,0,1)$, qui n'est pas le vecteur nul de l'espace d'arrivée ${\mathbb{R}}^3$ (qui est $(0,0,0)$).
Puisque $f(0)\ne 0$, nous pouvons conclure immédiatement que l'application $f$ n'est pas linéaire. La démonstration est terminée.

2. La méthode générale : trouver un contre-exemple

Que se passe-t-il si le test du vecteur nul est concluant, c'est-à-dire si $f(0)=0$ ? Cela ne garantit pas que l'application est linéaire. Cela signifie simplement que nous devons investiguer davantage.

Si l'application n'est pas linéaire, il doit exister au moins un cas où l'une des deux conditions de base est violée :

• Additivité : il existe $u,v$ tels que $f(u+v)\ne f(u)+f(v)$.
• Homogénéité : il existe un vecteur $u$ et un scalaire $\lambda$ tels que $f(\lambda u)\ne \lambda f(u)$.

Notre travail consiste alors à trouver un tel cas. C'est ce qu'on appelle un contre-exemple.

Comment repérer les candidats à la non-linéarité ?

Certaines formes d'expressions doivent immédiatement attirer votre attention. La vidéo suivante donne d'excellents conseils pratiques pour "sentir" si une application risque de ne pas être linéaire.

Application de la méthode

Mettons cette stratégie en œuvre avec l'Exercice 1, question 3 de Bibm@th :
$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x^2-y^2$.

1. Test du vecteur nul : $f(0,0)=0^2-0^2=0$. Le test n'est pas concluant. Nous devons chercher un contre-exemple.
2. Recherche d'un contre-exemple : La présence des carrés est un signal fort. Testons l'homogénéité, qui est souvent plus simple à vérifier.
   • Choisissons un vecteur simple, par exemple $u=(1,0)$.
   • Choisissons un scalaire simple, par exemple $\lambda =2$.
   • Calculons $f(\lambda u)$ :
     $f(\lambda u)=f(2\cdot (1,0))=f(2,0)=2^2-0^2=4$
   • Calculons $\lambda f(u)$ :
     $\lambda f(u)=2\cdot f(1,0)=2\cdot (1^2-0^2)=2\cdot 1=2$
   • Comparons : Nous voyons que $f(\lambda u)=4$ et $\lambda f(u)=2$.
     Puisque $4\ne 2$, on a $f(\lambda u)\ne \lambda f(u)$. La condition d'homogénéité n'est pas respectée.

Nous avons trouvé un contre-exemple. L'application $f$ n'est donc pas linéaire.

Pour consolider votre compréhension, vous pouvez maintenant revoir les exercices de Bibm@th avec ces méthodes en tête.

Conclusion

Cette leçon vous a armé d'une stratégie claire et efficace pour identifier les applications non linéaires, une compétence essentielle pour aborder rapidement vos exercices.

Voici les points clés à retenir :

• Une stratégie en deux temps pour prouver la non-linéarité :
  1. Toujours commencer par calculer $f(0)$. Si $f(0)\ne 0$, l'application n'est pas linéaire. C'est la méthode la plus rapide.
  2. Si $f(0)=0$, chercher un contre-exemple. Repérez les termes "suspects" (carrés, produits de variables, etc.) et testez la condition d'homogénéité ou d'additivité avec des valeurs simples (comme 1, 2, (1,0), (0,1)). Un seul cas qui ne fonctionne pas suffit à prouver la non-linéarité.

Maintenant que nous savons distinguer avec certitude les applications linéaires des autres, nous allons pouvoir nous concentrer sur leur représentation. La prochaine leçon abordera la première étape pour construire la matrice d'une application linéaire : calculer l'image des vecteurs de la base canonique. Cela vous rapprochera directement de la résolution de l'Exercice 3 de votre liste.