Vérifier la Linéarité d'une Application

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons terminé notre exploration des opérations matricielles de base en étudiant la matrice identité et la transposée. Vous êtes maintenant à l'aise avec les calculs qui forment la grammaire de l'algèbre linéaire.

Aujourd'hui, nous passons du "comment" au "pourquoi". Nous allons commencer à voir à quoi servent ces matrices en introduisant la notion fondamentale d'application linéaire. C'est le cœur du Module 2 et cela vous donnera les outils nécessaires pour aborder le premier exercice de votre liste, qui consiste précisément à vérifier si des applications sont linéaires. Cette leçon se concentre sur la méthode de vérification, en utilisant la définition formelle.

1. Qu'est-ce qu'une Application Linéaire ?

Imaginez une structure en génie civil, comme un pont. Si vous appliquez une charge $P_{1}$ et mesurez une flèche (déformation) $d_{1}$ , puis appliquez une autre charge $P_{2}$ et mesurez une flèche $d_{2}$ , dans de nombreuses conditions, si vous appliquez les deux charges en même temps ( $P_{1} + P_{2}$ ), la flèche totale sera $d_{1} + d_{2}$ . De même, si vous doublez la charge, la flèche double. C'est le principe de superposition.

Une application linéaire est une fonction mathématique qui obéit à ce même principe. C'est une fonction qui "respecte" les opérations de base d'un espace vectoriel : l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire.

Formellement, une application $f$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ est dite linéaire si elle vérifie deux conditions :

Additivité : $f (u + v) = f (u) + f (v)$ pour tous les vecteurs $u, v$ dans $E$ .
Homogénéité : $f (λ u) = λ f (u)$ pour tout vecteur $u$ dans $E$ et tout scalaire $λ$ .

La vidéo suivante introduit cette définition et donne un premier exemple.

Espaces vectoriels - partie 6 : application linéaire (début)

Cette vidéo d'Exo7Math présente la définition formelle d'une application linéaire et montre un exemple détaillé de la vérification des deux conditions.

Regardez d'abord la définition qui énonce les deux propriétés d'additivité et d'homogénéité. Suivez ensuite attentivement l'exemple d'une application de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}^2. L'auteur y démontre la linéarité en vérifiant les deux conditions séparément. C'est la méthode de base que vous utiliserez.

2. La Méthode de Vérification

Pour répondre aux exercices, il vous faut une méthode rigoureuse. On peut combiner les deux conditions (additivité et homogénéité) en une seule, qui est celle énoncée dans votre objectif d'apprentissage.

Une application $f : E \to F$ est linéaire si et seulement si :

f (α u + β v) = α f (u) + β f (v)

pour tous vecteurs $u, v \in E$ et tous scalaires $α, β$ . Prouver cette égalité en une seule fois est souvent plus rapide.

Cependant, pour commencer, il est parfois plus simple de décomposer la preuve en deux étapes, comme dans la vidéo précédente. La vidéo ci-dessous vous montre une rédaction très détaillée de cette méthode en deux temps, ce qui est excellent pour s'entraîner à bien structurer votre réponse.

Montrer qu'une application est linéaire • prépa algèbre espace vectoriel MPSI PCSI PTSI MP2I

Cette vidéo de "jaicompris Maths" est un guide pratique parfait pour apprendre à rédiger la preuve de linéarité pour un exercice type.

La vidéo décompose la preuve en deux parties distinctes : Additivité (f(u+v) = f(u)+f(v)) : Observez bien comment le calcul part de f(u+v) et comment les termes sont réarrangés pour faire apparaître f(u) et f(v). Homogénéité (f(λu) = λf(u)) : De la même manière, voyez comment le scalaire \lambda est factorisé pour obtenir le résultat attendu. L'approche "pas à pas" de cette vidéo est exactement le type de raisonnement à appliquer dans vos exercices.

3. Mise en Pratique : Vérifier la Linéarité

Mettons maintenant cette méthode en pratique avec un exercice concret.

Exercices corrigés -Applications linéaires : exercices pratiques

Cette page de Bibm@th propose des exercices qui ressemblent beaucoup à ceux que vous devez résoudre. Nous allons nous concentrer sur le premier.

L'exercice demande de déterminer si trois applications sont linéaires. Essayez de résoudre par vous-même la question 1: Soit f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0). Pour cela, suivez la méthode vue dans les vidéos : Prenez deux vecteurs u = (x, y) et v = (x', y') de \mathbb{R}^2, et deux scalaires \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Calculez f(\lambda u + \mu v). Calculez \lambda f(u) + \mu f(v). Vérifiez si les deux résultats sont égaux. Une fois que vous avez essayé, consultez la correction sur la page pour comparer votre démarche. La correction utilise la méthode en deux étapes (additivité puis homogénéité), ce qui est tout aussi valable.

4. Prouver qu'une Application N'EST PAS Linéaire

Il est tout aussi important de savoir montrer qu'une application n'est pas linéaire. Inutile de se lancer dans des calculs complexes : il suffit de trouver un seul contre-exemple qui viole l'une des propriétés.

Le test le plus rapide : l'image du vecteur nul

Une conséquence directe de la définition est que si $f$ est linéaire, alors elle envoie obligatoirement le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée.

f (0_{E}) = 0_{F}

Donc, la première chose à faire est toujours de calculer $f (0)$ . Si $f (0) \neq = 0$ , l'application n'est pas linéaire et la démonstration est terminée !

Applications linéaires, cours BCPST

Ce document de cours explique cette propriété fondamentale et donne un exemple clair.

Lisez la propriété 1.2 et l'exemple qui suit. L'exemple f(x, y) \to (x + y, y-1, y) est très parlant : on voit immédiatement que f(0,0) = (0, -1, 0) \neq (0,0,0), donc f n'est pas linéaire.

Revenons à l'exercice de Bibm@th et regardons les deux autres cas.

Question 2 : $f : R^{2} \to R^{3}, (x, y) \mapsto (x + y, x - 2 y, 1)$ .
Calculez $f (0, 0)$ . Vous obtenez $(0, 0, 1)$ , qui n'est pas le vecteur nul de $R^{3}$ . L'application n'est donc pas linéaire. C'est aussi simple que ça.
Question 3 : $f : R^{2} \to R, (x, y) \mapsto x^{2} - y^{2}$ .
Ici, $f (0, 0) = 0$ , donc le test rapide n'est pas concluant. Il faut trouver un autre contre-exemple. Testons l'additivité.
Prenons $u = (1, 0)$ et $v = (1, 0)$ .
- $f (u) = 1^{2} - 0^{2} = 1$ .
- $f (v) = 1^{2} - 0^{2} = 1$ .
- Donc, $f (u) + f (v) = 2$ .
- Mais $u + v = (2, 0)$ , et $f (u + v) = 2^{2} - 0^{2} = 4$ .
  Puisque $f (u + v) \neq = f (u) + f (v)$ , l'application n'est pas linéaire. La présence de carrés, de produits entre les variables (ex: $x y$ ), de sinus ou d'exponentielles est souvent un signe de non-linéarité.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons posé la première pierre de l'étude des applications linéaires, un concept qui relie les vecteurs, les matrices et la géométrie.

Les points clés à retenir sont :

Définition : Une application $f$ est linéaire si elle "respecte" l'addition et la multiplication par un scalaire, ce qui se résume par la condition : $f (α u + β v) = α f (u) + β f (v)$ .
Méthode pour prouver la linéarité : Appliquer rigoureusement la définition en partant de $f (α u + β v)$ et en réarrangeant les termes pour arriver à $α f (u) + β f (v)$ .
Méthode pour prouver la non-linéarité :
1. Vérifier si $f (0) = 0$ . Si ce n'est pas le cas, l'application n'est pas linéaire.
2. Si $f (0) = 0$ , chercher un contre-exemple simple qui viole soit l'additivité, soit l'homogénéité.

La prochaine leçon s'appuiera directement sur ces acquis. Maintenant que nous savons identifier une application linéaire, nous allons voir comment la représenter de manière très efficace à l'aide d'une matrice. Cela nous permettra de transformer un problème sur des fonctions abstraites en un problème de calcul matriciel, ce qui est l'objectif de votre Exercice 3.