Matrice identité et transposée

1. La Matrice Identité, l'Élément Neutre de la Multiplication

En arithmétique, le nombre 1 est l'élément neutre de la multiplication : multiplier n'importe quel nombre par 1 ne le change pas. La matrice identité, notée $I_n$, joue un rôle tout à fait analogue pour la multiplication des matrices.

Définition

La matrice identité d'ordre $n$, notée $I_n$, est une matrice carrée de taille $n\times n$ qui contient des 1 sur sa diagonale principale (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) et des 0 partout ailleurs.

Par exemple, voici les matrices identité d'ordre 2 et 3 :

Propriété : Élément Neutre

La propriété fondamentale de $I_n$ est que, pour toute matrice $A$, le produit de $A$ par la matrice identité (de taille compatible) donne $A$.

Cependant, comme nous l'avons vu dans la leçon précédente, la compatibilité des dimensions est cruciale. La vidéo suivante explique très bien comment choisir la bonne matrice identité en fonction de la taille de la matrice $A$.

Pour résumer ce que la vidéo explique :

• Si $A$ est une matrice de taille $m\times n$, alors on a $I_m\times A=A$ et $A\times I_n=A$. Les matrices identité utilisées à gauche et à droite n'ont pas la même taille si $m\ne n$.
• Si $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$, le cas se simplifie : $I_n\times A=A\times I_n=A$. C'est cette situation que vous retrouverez dans la plupart de vos exercices.

2. La Transposée d'une Matrice

La transposition est une autre opération fondamentale. L'idée est très simple : on "pivote" la matrice pour que ses lignes deviennent ses colonnes, et inversement.

Définition et Calcul

La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$ ou ${}^{t}A$, est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

• La première ligne de $A$ devient la première colonne de $A^T$.
• La deuxième ligne de $A$ devient la deuxième colonne de $A^T$.
• Et ainsi de suite.

Si $A$ est une matrice de taille $m\times n$, sa transposée $A^T$ sera de taille $n\times m$.

L'animation suivante montre très clairement le processus.

La vidéo suivante de la Khan Academy vous guidera pas à pas dans le calcul.

Propriétés importantes de la Transposée

Connaître les propriétés de la transposition vous fera gagner du temps dans les calculs. L'article suivant les résume bien.

Cette dernière propriété est cruciale. Lorsque vous transposez un produit de matrices, vous devez non seulement transposer chaque matrice, mais aussi inverser l'ordre de la multiplication. C'est une erreur fréquente, donc soyez vigilant.

3. Mise en pratique

Pour vous assurer d'avoir bien compris, rien de tel que de faire quelques exercices d'application. L'article que nous venons de consulter propose des exercices corrigés qui sont parfaits pour cela.

Conclusion

Nous avons ajouté aujourd'hui deux outils essentiels à votre panoplie de calcul matriciel. Voici les points clés à retenir :

• Matrice Identité ($I_n$) : C'est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. C'est l'élément neutre de la multiplication matricielle : $A\times I=I\times A=A$.
• Transposée ($A^T$) : C'est l'opération qui consiste à échanger les lignes et les colonnes d'une matrice. Si $A$ a la taille $m\times n$, $A^T$ a la taille $n\times m$.
• Propriété cruciale de la transposée : La transposée d'un produit inverse l'ordre : $(AB{)}^T=B^T{A}^T$.

Avec cette leçon, vous avez terminé les bases du calcul matriciel. Vous êtes maintenant équipé pour aborder la majorité des calculs présents dans vos exercices.

Dans la prochaine leçon, nous entrerons dans le Module 2 et commencerons à explorer les applications linéaires. Nous verrons comment les matrices que nous avons manipulées jusqu'à présent sont en fait des outils puissants pour représenter des transformations géométriques et des fonctions entre espaces vectoriels. Cela donnera un sens plus profond aux opérations que vous venez d'apprendre.