Somme et produit matriciels

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons défini la base canonique, qui est le système de référence standard pour les espaces vectoriels $R^{n}$ . Nous allons maintenant passer des vecteurs aux matrices, qui sont au cœur de l'algèbre linéaire et de vos exercices.

L'objectif de cette leçon est de maîtriser les opérations fondamentales sur les matrices. Conformément à l'un de vos objectifs, vous apprendrez à calculer la somme et le produit de deux matrices lorsque c'est possible. Ces compétences sont des prérequis indispensables pour la quasi-totalité des problèmes que vous aurez à résoudre, de la résolution de systèmes d'équations à l'analyse des applications linéaires.

1. Addition et soustraction de matrices

Commençons par l'opération la plus simple : l'addition. L'idée est très intuitive.

Règle et méthode

Pour pouvoir additionner (ou soustraire) deux matrices, elles doivent impérativement avoir la même dimension, c'est-à-dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

Si cette condition est remplie, l'addition se fait simplement en additionnant les éléments qui se trouvent à la même position. La matrice résultante aura la même dimension que les matrices de départ.

Par exemple, pour deux matrices $A$ et $B$ de dimension $2 \times 2$ , leur somme $C = A + B$ est calculée comme suit :

A + B = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}) + (b_{11} b_{21} b_{12} b_{22}) = (a_{11} + b_{11} a_{21} + b_{21} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{22})

La vidéo suivante de Yvan Monka illustre cette opération de manière très claire.

Calculer la somme de deux matrices - Terminale - Maths expertes

Cette courte vidéo vous montre comment additionner deux matrices 2x2.

Regardez l'intégralité de la vidéo. Elle commence par un rappel sur la définition d'une matrice et la condition pour l'addition, puis enchaîne sur un exemple de calcul détaillé.

La soustraction fonctionne exactement de la même manière : on soustrait les éléments correspondants.

Pour une définition formelle, vous pouvez consulter le document suivant, qui est un support de cours de mathématiques destiné aux étudiants en BUT Génie Civil.

[PDF] Mathématiques pour le BUT Génie civil – Construction durable

Ce document fournit les définitions concises des opérations matricielles.

À la page 75, lisez la courte section 5-3. Addition de matrices. Elle formalise la règle que nous venons de voir et présente un exemple.

2. Produit de matrices

La multiplication de matrices est moins intuitive que l'addition, mais elle est fondamentale. Elle représente la composition d'applications linéaires, un concept que nous explorerons plus tard. Pour l'instant, concentrons-nous sur la mécanique du calcul.

Condition de compatibilité

Pour pouvoir multiplier deux matrices $A$ et $B$ dans cet ordre (pour calculer $A B$ ), le nombre de colonnes de la première matrice ( $A$ ) doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice ( $B$ ).

Si $A$ est de dimension $m \times n$ (m lignes, n colonnes)
Et $B$ est de dimension $p \times q$ (p lignes, q colonnes)
Le produit $A B$ n'est possible que si $n = p$ .
La matrice résultante, $C = A B$ , aura pour dimension $m \times q$ .

La vidéo ci-dessous explique très bien cette condition de compatibilité.

Produit de deux matrices exemple de calcul [Calcul matriciel, Algèbre linéaire]

Cette vidéo de la chaîne "Les maths par l'exemple" est un excellent guide pratique pour le produit matriciel.

Regardez la première partie qui explique comment vérifier la compatibilité des dimensions et prédire la taille de la matrice résultat.

Méthode de calcul : Ligne par colonne

Chaque élément $c_{ij}$ de la matrice produit $C = A B$ , situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ , s'obtient en faisant le produit scalaire de la ligne $i$ de la matrice $A$ avec la colonne $j$ de la matrice $B$ .

Cela signifie qu'on multiplie les éléments un à un, puis on somme les résultats. L'image suivante illustre le calcul de l'élément $c_{11}$ .

Pour obtenir l'élément $c_{11}$ (première ligne, première colonne) de la matrice produit, on multiplie chaque élément de la première ligne de la matrice A par l'élément correspondant de la première colonne de la matrice B, puis on additionne les résultats.

Formellement, pour calculer $c_{ij}$ , on fait :

c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj}

Cette opération peut vite devenir une source d'erreurs. La suite de la vidéo précédente propose une méthode de disposition "en croix" très efficace pour organiser le calcul et minimiser les risques.

Produit de deux matrices exemple de calcul [Calcul matriciel, Algèbre linéaire]

Continuons avec la même vidéo pour maîtriser la technique de calcul.

Observez d'abord la méthode de disposition "en croix". C'est une astuce très utile que je vous recommande d'adopter. Suivez ensuite attentivement le calcul pas à pas de chaque coefficient du produit. L'animateur décompose bien chaque étape.

Une propriété cruciale : la non-commutativité

Contrairement à la multiplication des nombres réels, la multiplication de matrices n'est pas commutative. En général, ** $A B \neq = B A$
**.

Parfois, le produit $B A$ n'est même pas défini alors que $A B$ l'est. Et même si les deux sont définis, les résultats sont le plus souvent différents.

Exemple :
Soit $A = (1023)$ et $B = (4 - 1 12)$ .

Calculons $A B$ :

A B = ((1) (4) + (2) (- 1) (0) (4) + (3) (- 1) (1) (1) + (2) (2) (0) (1) + (3) (2)) = (2 - 3 56)

Maintenant, calculons $B A$ :

B A = ((4) (1) + (1) (0) (- 1) (1) + (2) (0) (4) (2) + (1) (3) (- 1) (2) + (2) (3)) = (4 - 1 114)

On voit bien que $A B \neq = B A$ .

3. Mise en pratique

Votre objectif est de savoir résoudre des exercices. Le document suivant propose une série de problèmes avec leurs corrections détaillées. C'est un excellent moyen de vous entraîner.

[PDF] MATRICES EXERCICES CORRIGES - Maurimath

Ce document contient de nombreux exercices pour vous exercer au calcul matriciel. Les corrections sont fournies à la fin.

Je vous suggère de travailler sur les exercices suivants. Essayez de les résoudre par vous-même avant de consulter les solutions. Exercice n°4 (page 2) : Calculez les sommes, différences et multiplications par un scalaire. La correction se trouve à la page 5. Exercice n°7 (page 2) : Entraînez-vous à déterminer si un produit est possible et, si oui, à le calculer. La correction détaillée se trouve à la page 6-7. C'est un exercice clé. Exercice n°8 (page 3) : Cet exercice vous fera constater par le calcul la non-commutativité du produit. La correction est à la page 7-8.

Conclusion

Cette leçon vous a armé des outils de calcul les plus fondamentaux pour travailler avec les matrices. Retenons les points essentiels :

Somme/Soustraction : Possible uniquement si les matrices ont la même dimension. L'opération se fait terme à terme.
Produit : Le produit $A B$ est possible si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le calcul se fait par la méthode "ligne par colonne".
Non-commutativité : C'est la règle d'or à ne jamais oublier : en général, ** $A B \neq = B A$
**.

Dans la prochaine leçon, nous compléterons notre boîte à outils en découvrant deux autres notions matricielles importantes : la matrice identité, qui est l'élément neutre de la multiplication, et la transposée d'une matrice. Ces concepts apparaîtront dans plusieurs de vos exercices, notamment celui vous demandant de calculer $A^{T} A$ .

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