Vecteurs de la Base Canonique de R^n

Le système de référence "naturel"

Dans votre domaine, le génie civil, vous êtes habitué à décomposer des forces, des vitesses ou des déplacements selon les axes x, y et z. Les petits vecteurs de longueur 1 qui pointent le long de ces axes, souvent notés $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$, constituent le système de référence le plus naturel pour décrire l'espace tridimensionnel. La base canonique est précisément la généralisation de cette idée à n'importe quel espace ${\mathbb{R}}^n$.

La base canonique de ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$

Commençons par les cas les plus simples.

• Dans le plan ${\mathbb{R}}^2$, la base canonique est composée de deux vecteurs :

  • $e_1=(1,0)$, un pas de 1 le long de l'axe des abscisses (x).
  • $e_2=(0,1)$, un pas de 1 le long de l'axe des ordonnées (y).
    Tout vecteur $(x,y)$ du plan peut s'écrire de manière unique comme $x\cdot e_1+y\cdot e_2$.

• Dans l'espace ${\mathbb{R}}^3$, on étend simplement cette logique avec un troisième vecteur pour le troisième axe (z) :

  • $e_1=(1,0,0)$, qui correspond à votre vecteur familier $\vec{i}$.
  • $e_2=(0,1,0)$, qui correspond à $\vec{j}$.
  • $e_3=(0,0,1)$, qui correspond à $\vec{k}$.

L'image suivante illustre parfaitement ces trois vecteurs fondamentaux dans ${\mathbb{R}}^3$.

Le document suivant, issu de l'École de technologie supérieure de Montréal (une école d'ingénieurs), formalise ces définitions.

Généralisation à ${\mathbb{R}}^n$

Maintenant, comment ce modèle se généralise-t-il à des espaces de dimension supérieure, comme ${\mathbb{R}}^4$, ${\mathbb{R}}^5$, ou plus généralement ${\mathbb{R}}^n$, pour lesquels nous n'avons plus d'intuition géométrique ? La logique reste exactement la même.

La base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ est une famille de $n$ vecteurs, notés $e_1,e_2,\dots ,e_n$. Le vecteur $e_i$ est un vecteur qui ne contient que des zéros, sauf à la $i$-ème position, où il y a un 1.

• $e_1=(1,0,0,\dots ,0)$
• $e_2=(0,1,0,\dots ,0)$
• $e_3=(0,0,1,\dots ,0)$
• ...
• $e_n=(0,0,0,\dots ,1)$

La vidéo suivante explique très clairement cette généralisation en partant des exemples de ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$.

Ce qui est fondamental à comprendre, c'est que lorsque nous écrivons un vecteur sous la forme d'un $n$-uplet, comme $\vec{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$, nous donnons en fait implicitement ses coordonnées dans la base canonique. C'est une abréviation pour l'écriture formelle :

Cette base est qualifiée de "canonique" car elle est la plus standard et la plus naturelle à utiliser. Sauf indication contraire, c'est toujours dans cette base que l'on travaille.

Pour finir, voici une définition textuelle concise qui résume ce qu'il faut retenir.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons mis en lumière le système de coordonnées le plus fondamental de l'algèbre linéaire. Voici les points clés :

• La base canonique de ${\mathbb{R}}^n$ est l'ensemble de $n$ vecteurs $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$.
• Chaque vecteur $e_i$ est un vecteur nul partout, sauf à la $i$-ème position, où il a la valeur 1.
• Pour ${\mathbb{R}}^2$, c'est $\{(1,0),(0,1)\}$. Pour ${\mathbb{R}}^3$, c'est $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$, qui correspondent aux vecteurs $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.
• Écrire un vecteur comme $\vec{v}=(v_1,\dots ,v_n)$ signifie que ce sont ses coordonnées dans la base canonique.

Maintenant que nous avons solidifié notre compréhension des vecteurs et de leur représentation standard, nous sommes prêts à aborder les opérations sur les matrices. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons à calculer la somme et le produit de matrices, des compétences de calcul essentielles pour la suite du cours. Vous verrez que les colonnes ou les lignes d'une matrice peuvent être vues comme des vecteurs exprimés, par défaut, dans la base canonique.