Bonjour,
Dans notre dernière leçon, nous avons vu que l'injectivité d'une application linéaire est entièrement déterminée par son noyau : est injective si et seulement si . Cette méthode transforme une question abstraite en un calcul direct. Aujourd'hui, nous allons aborder la notion complémentaire de surjectivité et voir qu'elle est, de manière tout aussi élégante, liée au rang de l'application.
L'objectif est de vous apprendre à déterminer si une application est surjective en comparant son rang à la dimension de l'espace d'arrivée. Cette compétence est, comme pour l'injectivité, fondamentale pour répondre aux questions des exercices 2 et 10 de votre liste, qui vous demandent de caractériser entièrement des applications linéaires.
1. Qu'est-ce que la Surjectivité ?
Une application est dite surjective si tout élément de l'espace d'arrivée peut être "atteint", c'est-à-dire si tout vecteur de possède au moins un antécédent dans l'espace de départ .
Souvenez-vous de la définition de l'image d'une application, notée : c'est précisément l'ensemble de tous les vecteurs "atteignables" dans . Par conséquent, la définition formelle de la surjectivité est la suivante :
Une application linéaire est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace d'arrivée tout entier.
Comme est toujours un sous-espace vectoriel de , une manière pratique de vérifier si ces deux espaces sont égaux est de comparer leurs dimensions. Cela nous amène au critère de calcul que nous utiliserons systématiquement.
Une application linéaire est surjective si et seulement si la dimension de son image est égale à la dimension de son espace d'arrivée.
Rappelez-vous que la dimension de l'image, , est aussi appelée le rang de , noté . Le test se résume donc à :
La ressource suivante énonce clairement cette propriété.
Noyau et image dans un espace vectoriel : Cours et exercices corrigés
Cet article de "progresser-en-maths.com" définit l'image et la surjectivité. Il est très direct et correspond à notre approche calculatoire.
Dans la section "Définitions", lisez la partie sur L’image qui donne la définition et un premier exemple. Ensuite, dans "Propriétés fondamentales", concentrez-vous sur la partie Image et surjectivité qui formalise le lien que nous venons d'établir.
2. Comment Calculer le Rang et Conclure ?
La question se ramène donc à "Comment trouver le rang de ?". Heureusement, vous disposez déjà de tous les outils nécessaires. L'un des plus puissants est le théorème du rang, que nous avons introduit précédemment.
Le théorème du rang s'écrit :
Cela nous offre une méthode très efficace :
- Calculer en résolvant le système homogène (la même démarche que pour l'injectivité).
- En déduire le rang grâce au théorème : .
- Comparer ce rang à la dimension de l'espace d'arrivée, .
- Si , l'application est surjective.
- Si , l'application n'est pas surjective. (Notez que ne peut jamais être supérieur à ).
La vidéo suivante met en œuvre cette méthode de manière exemplaire.
application linéaire • déterminer Ker(f) noyau et Im(f) l'image • injective surjective théorème rang
Cette vidéo de la chaîne "jaicompris Maths" montre le raisonnement complet sur un exemple où l'application est surjective.
Regardez attentivement la deuxième moitié de la vidéo. L'auteur a déjà calculé que \dim(\ker(f))=1 pour une application de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}^2. D'abord, il applique le théorème du rang. À partir de \dim(E)=3 et \dim(\ker(f))=1, il déduit que le rang de f est 3-1=2. Ensuite, il tire la conclusion sur la surjectivité. Il compare le rang calculé (\text{rg}(f)=2) à la dimension de l'espace d'arrivée (\dim(\mathbb{R}^2)=2). Puisqu'ils sont égaux, il conclut que l'image \text{Im}(f) est égale à \mathbb{R}^2 tout entier, et donc que l'application est surjective.
3. Exemple d'une Application Non-Surjective
Pour bien fixer les idées, analysons maintenant un cas où l'application n'est pas surjective. La démarche reste exactement la même.
Applications linéaires de IR4 dans IR3 - Noyau et Rang , ker f et Imf - prépa licence
Cette vidéo de la chaîne "Maths en prépa avec Hans Amble" traite un cas de \mathbb{R}^4 dans \mathbb{R}^3 et montre pourquoi l'application n'est pas surjective.
Le raisonnement est très structuré : Regardez d'abord la remarque initiale sur les dimensions. L'auteur note que comme l'espace d'arrivée \mathbb{R}^3 est "plus petit" que l'espace de départ \mathbb{R}^4, l'application peut être surjective. Suivez ensuite le calcul de la dimension du noyau. Après résolution du système, il trouve que le noyau est de dimension 2. Enfin, observez l'application du théorème du rang. Sachant \dim(\mathbb{R}^4)=4 et \dim(\ker f)=2, il déduit que \text{rg}(f) = 4 - 2 = 2. Il compare alors ce rang à la dimension de l'espace d'arrivée \mathbb{R}^3, qui est 3. Comme 2 < 3, il conclut que l'application n'est pas surjective.
Cette méthode est systématique. Que vous cherchiez à prouver l'injectivité ou la surjectivité, le calcul du noyau et l'application du théorème du rang sont vos outils centraux.
4. Synthèse et Application
Pour résumer, voici la démarche à suivre pour déterminer si est surjective :
- Identifier les dimensions : notez et .
- Calculer le noyau : résolvez le système pour trouver une base de et donc sa dimension, .
- Calculer le rang : utilisez le théorème du rang : .
- Comparer et conclure :
- Si , est surjective.
- Si , n'est pas surjective.
La page d'exercices suivante vous propose des exemples concrets qui appliquent ce raisonnement.
Exercices corrigés -Applications linéaires : exercices pratiques
Cette page du site "Bibm@th" contient des exercices très pertinents pour vous. Les corrigés sont clairs et vont droit au but.
Analysez la correction de deux exercices : Dans l'Exercice 5, une application de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}^4 est étudiée. Le corrigé trouve que \dim(\text{Im}(f)) = 2. La conclusion est immédiate : "f n'est pas surjective, car son image n'est pas \mathbb{R}^4 tout entier. En effet, la dimension de Im(f) est 2, et non 4." Dans l'Exercice 6, pour une application de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}^3, le corrigé calcule \dim(\ker(f))=1, en déduit \text{rg}(f)=2 par le théorème du rang, et conclut : "L'application f n'est pas surjective : son image, qui est de dimension 2, est strictement incluse dans l'espace d'arrivée \mathbb{R}^3 qui est de dimension 3."
Conclusion
Vous disposez maintenant d'une méthode de test claire et efficace pour la surjectivité, qui complète celle que nous avons vue pour l'injectivité.
Points clés à retenir :
- Une application linéaire est surjective si et seulement si son image remplit tout l'espace d'arrivée : .
- Le test pratique consiste à comparer les dimensions : est surjective si et seulement si .
- La méthode la plus rapide pour trouver le rang est souvent d'utiliser le théorème du rang après avoir calculé la dimension du noyau.
Avec les leçons sur le noyau, le rang, l'injectivité et maintenant la surjectivité, vous avez presque toutes les cartes en main pour analyser complètement une application linéaire.
Dans notre prochaine leçon, nous rassemblerons ces deux notions pour définir la bijectivité. Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Nous verrons que pour les applications entre deux espaces de même dimension (les endomorphismes), ces trois propriétés deviennent équivalentes, ce qui constitue un raccourci de raisonnement très puissant.