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Lesson 23

Rang et injectivité/surjectivité d'un endomorphisme

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Bonjour !

Dans la leçon précédente, nous avons découvert une propriété très puissante des endomorphismes, ces applications linéaires qui vont d'un espace vers lui-même (). Nous avons vu que pour de telles applications, l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont des notions équivalentes. Tester si le noyau était réduit au vecteur nul () nous suffisait pour tout conclure.

Aujourd'hui, nous allons approfondir cette idée en utilisant un autre outil que vous connaissez : le rang. L'objectif est de vous montrer comment le rang d'un endomorphisme fournit un critère direct et calculatoire pour prouver son injectivité ou sa surjectivité, et donc sa bijectivité. Cette méthode est souvent plus rapide, car elle s'appuie sur le calcul du rang de la matrice associée, une procédure que vous maîtrisez.

1. Le Théorème du Rang : La Clé de Voûte

Tout notre raisonnement repose sur le théorème du rang, que nous avons déjà utilisé. Il établit une relation immuable entre la "perte" d'information (le noyau) et la "portée" de l'application (l'image).

Pour une application linéaire , avec de dimension finie, le théorème s'énonce :

Ou, en utilisant la définition du rang () :

Cette image illustre le théorème du rang. L'espace de départ \(E\) (de dimension \(n\)) est "partagé" entre le noyau \(\ker(f)\) (les vecteurs qui sont envoyés sur zéro, de dimension \(p\)) et la partie qui génère l'image \(\text{Im}(f)\) (de dimension \(q\)). Le théorème affirme que \(p + q = n\).

2. Exprimer l'Injectivité et la Surjectivité avec le Rang

Voyons comment les conditions d'injectivité et de surjectivité se traduisent en utilisant le rang. Soit une application linéaire , avec et .

  • Injectivité : Vous savez que est injective si et seulement si . En injectant cela dans le théorème du rang, on obtient :

    Donc, une application est injective si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace de départ.

  • Surjectivité : Vous savez que est surjective si et seulement si son image couvre tout l'espace d'arrivée, c'est-à-dire . En termes de dimensions, cela signifie . Par définition du rang, on a :

    Donc, une application est surjective si et seulement si son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivée.

Ce résumé est clairement présenté dans la ressource suivante.

Le théorème du rang : cours, démonstration et exercices corrigés

Ce document synthétise parfaitement la manière dont le théorème du rang fournit des critères directs pour l'injectivité et la surjectivité.

Lisez la sous-partie "Critères d’injectivité et de surjectivité". Elle résume les deux équivalences que nous venons d'établir.

3. Le Cas Particulier des Endomorphismes

Maintenant, appliquons ces deux critères au cas spécifique d'un endomorphisme . Ici, l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes, donc leurs dimensions sont égales : .

Reprenons nos équivalences :

  • est injective .
  • est surjective .

La conclusion est immédiate et très puissante : pour un endomorphisme, les conditions d'injectivité et de surjectivité, exprimées via le rang, sont exactement les mêmes.

Cela nous amène au théorème central de cette leçon :

Théorème : Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie . Les affirmations suivantes sont équivalentes :

  1. est injective.
  2. est surjective.
  3. est bijective.
  4. .

Cela signifie que pour prouver qu'un endomorphisme est bijectif, il vous suffit de calculer son rang et de vérifier s'il est égal à la dimension de l'espace. C'est un critère purement numérique et souvent très rapide à vérifier.

Le théorème du rang : cours, démonstration et exercices corrigés

Le même document formalise ce résultat crucial.

Lisez la courte section "Cas des endomorphismes". Elle énonce explicitement cette équivalence. Notez la conclusion pratique : "il suffit de vérifier l’une de ces propriétés pour obtenir toutes les autres".

4. Mise en Pratique : Le Rang comme Juge de Paix

La méthode est donc simple :

  1. Identifier que l'application est un endomorphisme (). Soit .
  2. Déterminer la matrice de dans une base (généralement la base canonique).
  3. Calculer le rang de (par exemple, en l'échelonnant et en comptant le nombre de pivots).
  4. Si , alors est bijective.
  5. Si , alors n'est ni injective, ni surjective, ni bijective.

La vidéo suivante met en œuvre ce raisonnement de manière très claire.

Exercice sur les applications linéaires en utilisant le théorème du rang.

Cette vidéo de la chaîne "Algèbre Prépa" résout un exercice où l'on doit déterminer si un endomorphisme de \mathbb{R}^3 est un automorphisme (un endomorphisme bijectif).

Regardez la partie où la bijectivité est discutée, de 06:58 à 09:27. L'auteur a déjà calculé que \text{rg}(\phi)=3. Il explique ensuite que comme le rang est égal à la dimension de l'espace de départ (3), l'application est injective. Et comme le rang est aussi égal à la dimension de l'espace d'arrivée (3), elle est également surjective. La conclusion est donc qu'elle est bijective.

Voyons un autre exemple, cette fois en utilisant l'échelonnement d'une matrice pour trouver le rang.

Le théorème du rang : cours, démonstration et exercices corrigés

Reprenons le même document et analysons un exercice corrigé qui applique cette méthode.

Analysez l'Exercice 2 et son corrigé. L'énoncé demande de montrer qu'un endomorphisme de \mathbb{R}^3 est un isomorphisme (bijectif). La méthode est la suivante : On écrit la matrice A de f. On l'échelonne par la méthode du pivot de Gauss. On compte le nombre de pivots : il y en a 3. La conclusion est : "Il y a 3 pivots, donc \text{rg}(f) = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)". Comme c'est un endomorphisme et que le rang est maximal, on conclut immédiatement que f est bijectif.

Conclusion

Vous disposez maintenant d'une nouvelle méthode très efficace pour analyser les endomorphismes, ce qui est un cas extrêmement courant dans vos exercices.

Points clés à retenir :

  • Pour un endomorphisme avec , les propriétés d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité sont équivalentes à la condition .
  • En pratique, cela signifie que pour déterminer si un endomorphisme est bijectif, il suffit de calculer le rang de sa matrice. Si le rang est égal à la dimension de l'espace ("rang maximal"), l'application est bijective. Sinon, elle ne l'est pas.
  • Ce test est souvent plus direct que le calcul du noyau, car il se ramène à l'algorithme bien connu du pivot de Gauss pour trouver le nombre de pivots.

Cette connexion entre le rang d'une matrice carrée et la bijectivité de l'application associée est fondamentale. Dans la prochaine leçon, nous introduirons le déterminant, un nombre unique que l'on peut calculer pour toute matrice carrée. Vous découvrirez que le déterminant nous donne un moyen encore plus rapide de savoir si le rang est maximal, et donc si la matrice est inversible et l'application bijective. Cela sera essentiel pour les exercices 5, 6 et 8.