Déterminant par les cofacteurs

Bonjour,

Dans la leçon précédente, nous avons appris à calculer le déterminant pour des matrices 2x2 et 3x3, cette dernière grâce à la règle de Sarrus. Nous avons aussi établi qu'une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cependant, la règle de Sarrus est une astuce qui ne s'applique qu'aux matrices 3x3.

Aujourd'hui, nous allons donc généraliser cette compétence. L'objectif est d'apprendre à calculer le déterminant de n'importe quelle matrice carrée de taille $n \times n$ grâce à une méthode universelle : le développement par rapport aux cofacteurs. Cette technique est fondamentale pour résoudre des exercices comme le 8 et le 10 de votre liste, qui peuvent impliquer des matrices de taille 4x4 ou plus.

1. Mineurs et Cofacteurs : Les Briques de la Méthode

La méthode du développement par cofacteurs repose sur deux concepts simples : le mineur et le cofacteur.

Le Mineur

Le mineur d'un élément $a_{ij}$ (situé à la ligne $i$ et colonne $j$ ) d'une matrice $A$ , noté $M_{ij}$ , est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ .

Par exemple, pour une matrice 4x4, les mineurs sont des déterminants de matrices 3x3. L'image suivante illustre comment on obtient ces sous-matrices.

Cette image montre comment on obtient les quatre sous-matrices 3x3 en éliminant successivement la première colonne et chacune des quatre lignes d'une matrice 4x4. Le déterminant de chacune de ces sous-matrices est un mineur.

Le document suivant définit formellement le mineur et donne un exemple simple sur une matrice 3x3.

[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

Ce document introduit les concepts de mineur et de cofacteur de manière très claire et directe.

Concentrez-vous sur la section 5 - Définition d'un mineur pour bien comprendre comment on isole la sous-matrice et on calcule son déterminant. Notez l'exemple du calcul de M_{12}.

Le Cofacteur

Le cofacteur de l'élément $a_{ij}$ , noté $C_{ij}$ , est simplement le mineur $M_{ij}$ auquel on associe un signe positif ou négatif. La formule est :
$C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$

Le terme $(- 1)^{i + j}$ peut sembler abstrait, mais il suit une règle très simple : c'est un "damier" (ou échiquier) de signes qui alterne en commençant par un "+" sur l'élément $a_{11}$ .

+ - + - ⋮ - + - + ⋮ + - + - ⋮ - + - + ⋮ \dots \dots \dots \dots ⋱

La vidéo suivante explique très bien cette notion de damier et comment elle simplifie la mémorisation des signes.

Déterminants 2 - Développement sur une ligne ou une colonne

Cette vidéo de "Maths PCSI Lycée du Parc" est extrêmement pédagogique et visuelle.

Regardez la section entre 06:09 et 06:47. L'explication du "damier" de signes est un conseil pratique qui vous fera gagner beaucoup de temps et vous évitera des erreurs de calcul.

2. La Formule du Développement par Cofacteurs

Maintenant que nous avons les mineurs et les cofacteurs, la méthode est simple. Pour calculer le déterminant d'une matrice $A$ , on choisit une seule ligne ou une seule colonne. Le déterminant est alors la somme des produits de chaque élément de cette ligne/colonne par son propre cofacteur.

Développement selon la ligne $i$ :
$det (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{in} C_{in}$
Développement selon la colonne $j$ :
$det (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{1 j} C_{1 j} + a_{2 j} C_{2 j} + \dots + a_{nj} C_{nj}$

Un point crucial : le résultat est le même, quelle que soit la ligne ou la colonne que vous choisissez.

La vidéo suivante énonce ce théorème et l'illustre par un exemple en calculant le même déterminant 3x3 de plusieurs manières (selon la ligne 1, puis la ligne 2), prouvant que le résultat est identique.

Déterminant d'une matrice n x n

Cette vidéo de Mathéma-TIC va droit au but et montre l'application de la formule.

Regardez la définition formelle du développement selon une ligne. Suivez le premier exemple de calcul sur une matrice 3x3, développé selon la première ligne. Regardez ensuite le même calcul, mais selon la deuxième ligne, qui confirme que le résultat est bien -12 dans les deux cas.

3. Application à une Matrice 3x3

Voyons un exemple complet pour une matrice 3x3. Bien que nous connaissions la règle de Sarrus, l'appliquer avec les cofacteurs permet de bien maîtriser le mécanisme avant de passer à des matrices plus grandes.

Considérons la matrice $A = 264 - 1 35 213$ .

Choisissons de développer selon la deuxième ligne (pour changer de l'habituelle première ligne). Les éléments sont 6, 3, et 1.
La formule est : $det (A) = a_{21} C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23}$ .

Terme 1 : $a_{21} = 6$ .
- Le signe est $(- 1)^{2 + 1} = - 1$ .
- Le mineur $M_{21}$ est $- 1 5 23 = (- 1) (3) - (2) (5) = - 3 - 10 = - 13$ .
- Le cofacteur est $C_{21} = - (- 13) = 13$ .
- Le terme est $6 \times 13 = 78$ . Mais l'image utilise une convention différente où le signe est sorti. Suivons l'image. Le terme est $- 6 \times (- 13)$ .

L'image ci-dessous illustre ce calcul complet. Notez bien comment chaque élément de la deuxième ligne est multiplié par le déterminant 2x2 restant, avec le signe approprié du damier ( $-, +, -$ pour la deuxième ligne).

Cette image décompose le calcul du déterminant par rapport à la deuxième ligne. On voit bien le signe $(-)$ pour le premier élément (6), $(+)$ pour le deuxième (3) et $(-)$ pour le troisième (1), conformément au damier des signes.

Le calcul final est :
$det (A) = - 6 \times det (- 1 5 23) + 3 \times det (2423) - 1 \times det (24 - 1 5)$
$det (A) = - 6 (- 3 - 10) + 3 (6 - 8) - 1 (10 - (- 4))$
$det (A) = - 6 (- 13) + 3 (- 2) - 1 (14) = 78 - 6 - 14 = 58$ .

4. La Stratégie Clé : Utiliser les Zéros

Vous avez dû remarquer que si un élément $a_{ij}$ est nul, alors tout le terme $a_{ij} C_{ij}$ devient nul, et nous n'avons pas besoin de calculer son cofacteur.

Ceci est la stratégie la plus importante pour le calcul de déterminants : toujours choisir de développer selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros. Cela minimise considérablement le nombre de calculs.

La vidéo suivante insiste sur ce point et montre à quel point le calcul est simplifié.

Déterminants 2 - Développement sur une ligne ou une colonne

Retournons à cette vidéo pour la partie stratégique.

Regardez la partie de 07:12 à 07:42, qui explique exactement pourquoi il est judicieux de choisir une ligne ou une colonne avec des zéros. Les exercices qui suivent montrent cette stratégie en action.

5. Généralisation : Calcul d'un Déterminant 4x4

La méthode des cofacteurs est récursive. Pour calculer un déterminant 4x4, vous le développez en une somme de déterminants 3x3. Ensuite, pour chaque déterminant 3x3, vous pouvez soit utiliser la règle de Sarrus, soit appliquer à nouveau un développement par cofacteurs pour le réduire à des déterminants 2x2.

L'exemple qui suit est parfait car il combine la taille (4x4) et la stratégie des zéros.

Déterminant d'une matrice n x n

Cette section de la vidéo est un exemple complet de A à Z pour une matrice 4x4.

Suivez attentivement tout l'exemple à partir de 04:56. L'auteur choisit la colonne 3 car elle contient deux zéros. Le calcul 4x4 se réduit donc à une somme de seulement deux termes impliquant des déterminants 3x3. Ensuite, pour calculer l'un de ces déterminants 3x3, il choisit à nouveau la colonne la plus simple (la première, avec un zéro). Le calcul se termine en évaluant un simple déterminant 2x2. Cet exemple est la parfaite illustration de la méthode en pratique.

Conclusion

Cette leçon vous a équipé de la méthode générale pour aborder le calcul de n'importe quel déterminant, une compétence indispensable pour vos exercices.

Les points clés à retenir sont :

Le déterminant d'une matrice $n \times n$ peut se calculer par la méthode des cofacteurs.
Cette méthode consiste à choisir une ligne ou une colonne et à sommer les produits de chaque élément par son cofacteur ( $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ).
Le signe $(- 1)^{i + j}$ suit un motif en damier (échiquier).
La stratégie la plus efficace est de toujours développer selon la ligne ou la colonne contenant le plus grand nombre de zéros.
La méthode est récursive : un déterminant 4x4 se décompose en déterminants 3x3, qui se décomposent en déterminants 2x2.

Dans la prochaine leçon, nous pousserons cette logique encore plus loin. Nous verrons comment utiliser les opérations sur les lignes et les colonnes (comme pour le pivot de Gauss) pour créer des zéros dans une matrice avant même de commencer le développement par cofacteurs. Cela rendra le calcul de déterminants de grande taille encore plus rapide et systématique.

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