Calcul de l'inverse de la matrice de passage P⁻¹

1. La méthode de Gauss-Jordan pour l'inversion de matrice

Cette méthode est algorithmique, ce qui la rend particulièrement efficace et fiable. Le principe est d'effectuer des opérations sur les lignes d'une matrice "augmentée" pour la transformer progressivement.

La procédure se déroule en trois temps :

1. Créer la matrice augmentée : On juxtapose la matrice à inverser (disons, $A$) et la matrice identité de même taille, $I$. On note cette matrice augmentée $[A|I]$.

2. Appliquer le pivot de Gauss : On utilise des opérations élémentaires sur les lignes de toute la matrice augmentée pour transformer la partie gauche ($A$) en matrice identité ($I$). Les opérations autorisées sont :

   • Échanger deux lignes.
   • Multiplier une ligne par un nombre non nul.
   • Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

3. Extraire l'inverse : Une fois que la partie gauche est devenue la matrice identité, la partie droite, qui était initialement $I$, est devenue la matrice inverse $A^{-1}$. On obtient donc la forme $[I|A^{-1}]$.

La vidéo suivante de la Khan Academy Francophone explique et démontre parfaitement cette méthode.

2. Un exemple visuel complet

Pour bien visualiser le flux des opérations, l'image ci-dessous montre un calcul complet de l'inverse d'une matrice 3x3 par la méthode du pivot de Gauss.

Cette méthode est exactement ce que vous devez appliquer pour calculer l'inverse de vos matrices de passage. La vidéo suivante, de la chaîne Fabinou, applique cette technique spécifiquement pour trouver l'inverse d'une matrice de passage.

3. Comment vérifier votre résultat ?

Une fois que vous avez calculé une matrice inverse $A^{-1}$, il existe un moyen simple et infaillible de vérifier si votre calcul est correct.

Par définition, le produit d'une matrice par son inverse donne la matrice identité. Donc, il suffit de calculer :

Si le résultat est la matrice identité $I$, votre inverse est correct. Sinon, une erreur s'est glissée dans vos calculs.

Prenez toujours le temps de faire cette vérification, surtout lors d'un examen. C'est une sécurité précieuse.

4. Une autre méthode (pour votre information)

Il existe une autre méthode pour calculer l'inverse, basée sur le déterminant et la comatrice (ou matrice adjointe). Bien que la méthode de Gauss-Jordan soit souvent plus rapide et plus générale, il est bon de connaître l'existence de cette alternative.

Elle se déroule en plusieurs étapes :

1. Calculer le déterminant de la matrice, det(A). Si det(A) = 0, la matrice n'est pas inversible.
2. Calculer la "matrice des cofacteurs".
3. Transposer cette matrice des cofacteurs pour obtenir la comatrice, com(A).
4. L'inverse est alors donné par la formule : $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{com}(A{)}^T$.

Cette méthode est décrite en détail dans le document wikiHow que nous avons déjà consulté. Vous pouvez la parcourir pour votre culture générale, mais pour les exercices, je vous recommande de vous concentrer sur la maîtrise du pivot de Gauss.

Conclusion

Vous avez maintenant en main une méthode puissante et systématique pour calculer l'inverse de n'importe quelle matrice carrée inversible.

Les points essentiels à retenir sont :

• L'inverse de la matrice de passage, $P^{-1}$, est nécessaire pour exprimer les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles et pour appliquer la formule de changement de base d'une application linéaire.
• La méthode de Gauss-Jordan est un algorithme fiable : on forme la matrice augmentée $[P|I]$ et on la transforme par des opérations sur les lignes pour obtenir $[I|P^{-1}]$.
• Il faut toujours vérifier son résultat en calculant le produit $P\times P^{-1}$, qui doit donner la matrice identité $I$.

Maintenant que nous savons construire $P$ et calculer $P^{-1}$, nous disposons de tous les outils nécessaires pour aborder la dernière étape de votre Exercice 10 : appliquer la formule complète du changement de base $M^{\prime }=P^{-1}AP$ pour trouver la matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base. Ce sera l'objet de notre prochaine leçon.