Calcul des images des vecteurs d'une nouvelle base par une application linéaire

1. Comment calculer l'image d'un vecteur ?

Rappelons qu'il y a deux manières principales de calculer l'image d'un vecteur $v$ par une application linéaire $f$ :

1. Avec l'expression analytique de $f$ : Si vous avez une formule du type $f(x,y,z)=(3x-5y+3z,\dots )$, il suffit de remplacer $x,y,z$ par les coordonnées de votre vecteur $v$.
2. Avec la matrice de $f$ : Si $A$ est la matrice de $f$ dans la base canonique, et que $X$ est le vecteur colonne des coordonnées de $v$ dans cette même base, alors l'image $f(v)$ a pour vecteur colonne de coordonnées $A\times X$.

Cette seconde méthode est souvent plus systématique et puissante, surtout dans le contexte du changement de base.

2. Calculer l'image d'un vecteur de la nouvelle base

Un vecteur $e_i^{\prime }$ de votre nouvelle base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est avant tout un vecteur de l'espace. Nous connaissons ses coordonnées dans la base canonique : ce sont précisément les composantes de la $i$-ème colonne de votre matrice de passage $P$.

Par conséquent, pour calculer l'image $f(e_i^{\prime })$, la méthode est simple :

1. Prenez le vecteur colonne $X_i^{\prime }$ correspondant au vecteur $e_i^{\prime }$ (c'est la $i$-ème colonne de $P$).
2. Calculez le produit matriciel $A\times X_i^{\prime }$.
3. Le vecteur colonne résultat contient les coordonnées de $f(e_i^{\prime })$ dans la base canonique.

L'image ci-dessous illustre ce que représente la matrice d'une application linéaire. Chaque colonne de la matrice est l'image d'un vecteur de la base de départ, exprimée dans la base d'arrivée. Notre démarche consiste à calculer ces colonnes pour la nouvelle base.

3. Un exemple complet : de l'image à la nouvelle matrice

Pour que cette démarche soit claire, nous allons suivre un exercice corrigé qui applique exactement cette méthode. Il montre non seulement comment calculer l'image d'un nouveau vecteur de base, mais aussi comment exprimer ce résultat dans la nouvelle base pour construire la nouvelle matrice. C'est exactement ce que vous devrez faire.

La lecture de cet exercice vous donne une feuille de route claire pour la méthode "directe".

4. Une autre perspective visuelle

Pour renforcer votre compréhension, la vidéo suivante montre exactement le même processus : calculer l'image de chaque vecteur de la base de départ, puis décomposer ce résultat dans la base d'arrivée pour former les colonnes de la nouvelle matrice.

Conclusion

Vous savez maintenant comment aborder la question "e" de votre Exercice 10. La méthode directe, bien que parfois laborieuse, est très logique et facile à retenir.

Les points clés de cette leçon sont :

• Pour calculer l'image d'un vecteur de la nouvelle base $e_i^{\prime }$, on multiplie la matrice $A$ (de $f$ dans la base canonique) par le vecteur colonne $X_i^{\prime }$ (les coordonnées de $e_i^{\prime }$ dans la base canonique).
• Le résultat, $A\times X_i^{\prime }$, est un vecteur colonne représentant $f(e_i^{\prime })$ dans la base canonique.
• Pour construire la matrice de $f$ dans la nouvelle base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, il faut ensuite exprimer chaque image $f(e_i^{\prime })$ comme une combinaison linéaire des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Dans la prochaine et dernière leçon de ce module, nous verrons comment finaliser ce processus de changement de base en présentant la fameuse formule $M^{\prime }=P^{-1}AP$, qui est une manière plus rapide et synthétique d'obtenir le même résultat. Vous aurez ainsi deux méthodes pour résoudre le même problème.