Matrice de passage de la base canonique à B'

Bonjour,

Dans la leçon précédente, nous avons complété notre étude des puissances de matrices avec la méthode par conjecture et récurrence. Nous allons maintenant aborder un nouveau chapitre fondamental de l'algèbre linéaire, le changement de base, qui est au cœur de votre Exercice 10.

Jusqu'à présent, nous avons surtout travaillé dans les "bases canoniques", qui sont les systèmes de coordonnées les plus naturels ( $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ dans $R^{3}$ , par exemple). Cependant, de nombreux problèmes en physique ou en ingénierie deviennent beaucoup plus simples lorsqu'on les regarde sous un autre angle, c'est-à-dire dans une autre base. Imaginez analyser les contraintes sur une poutre : il est plus pertinent d'utiliser des axes alignés avec la poutre plutôt que les axes nord-sud/est-ouest.

Pour passer d'un système de coordonnées à un autre, nous avons besoin d'un outil de "traduction". Cet outil est une matrice spéciale appelée matrice de passage. L'objectif de cette leçon est d'apprendre à construire cette matrice lorsque l'on passe de la base canonique à une nouvelle base.

1. Qu'est-ce qu'une matrice de passage ?

Une matrice de passage, notée $P$ , est une matrice carrée qui contient toutes les informations pour transformer les coordonnées d'un vecteur d'une base à une autre. La règle pour la construire est directe et doit être mémorisée.

Règle de construction :
Les colonnes de la matrice de passage $P$ de l'ancienne base $B$ vers la nouvelle base $B^{'}$ sont formées par les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base $B^{'}$ , exprimées dans l'ancienne base $B$ .

L'image suivante illustre parfaitement cette méthode.

Cette illustration montre que pour construire la matrice de passage P de la base B_E à la base B'_E, on prend les vecteurs de la nouvelle base (u_1, u_2, ..., u_n), on les exprime dans l'ancienne base, et on place leurs coordonnées dans les colonnes de P.

Le document ci-dessous formalise cette définition.

Changement de base [Calcul matriciel] - UEL – Unisciel

Cette page web de l'Unisciel donne une définition claire et concise de la matrice de passage.

Lisez la première partie de la page, jusqu'à la fin de la définition de la matrice P. Concentrez-vous sur la section "Matrice de changement de base". Remarquez comment les coefficients a_{ij} qui définissent les nouveaux vecteurs de base e'_j sont organisés en colonnes pour former la matrice P.

2. La méthode pas à pas

Construire la matrice de passage de la base canonique $B_{c}$ à une nouvelle base $B^{'}$ est un processus très mécanique. La base canonique de $R^{n}$ est $B_{c} = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ , où $e_{1} = (1, 0, \dots, 0)$ , $e_{2} = (0, 1, \dots, 0)$ , etc.

Soit une nouvelle base $B^{'} = (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ .

Exprimer les nouveaux vecteurs : Chaque vecteur $u_{i}$ de la nouvelle base est déjà donné par ses coordonnées dans la base canonique. Par exemple, si $u_{1} = (3, 1, 0)$ dans $R^{3}$ , cela signifie intrinsèquement que $u_{1} = 3 e_{1} + 1 e_{2} + 0 e_{3}$ . Le vecteur de coordonnées de $u_{1}$ dans la base canonique est donc $310$ .
Remplir les colonnes : Prenez le vecteur de coordonnées de $u_{1}$ et placez-le dans la première colonne de $P$ . Prenez celui de $u_{2}$ et placez-le dans la deuxième colonne, et ainsi de suite.

La vidéo suivante vous montre cette méthode en action. C'est exactement la démarche que vous devrez appliquer dans les exercices.

Trouver la MATRICE DE PASSAGE - Méthode + Explications + Exemple - Algèbre maths Prépa Licence

Cette vidéo de la chaîne Fabinou explique très clairement comment construire la matrice de passage à partir des définitions des nouveaux vecteurs de base.

Regardez attentivement le processus : Mise en place (ici) : L'auteur présente les deux bases, la base canonique E = (e_1, e_2, e_3) et la nouvelle base E_{\text{tilde}} = (u_1, u_2, u_3). Construction de la matrice (ici) : C'est la partie cruciale. Observez comment il prend les coefficients de u_1 = 3e_1 + 1e_2 + 0e_3 pour former la première colonne (3, 1, 0). Il répète ensuite l'opération pour u_2 et u_3 pour remplir les autres colonnes.

3. Exemples concrets

Appliquons cette méthode sur des cas pratiques, tirés d'exercices similaires à ceux que vous devez résoudre.

Exemple 1 : En dimension 3

Reprenons l'exemple simple du document de l'Unisciel que vous avez consulté précédemment.

Changement de base [Calcul matriciel] - UEL – Unisciel

Cet exemple concret illustre la méthode en dimension 3.

Lisez la section "Exemple : Matrice de passage". La base canonique est B = (e_1, e_2, e_3). La nouvelle base est B' = (e'_1, e'_2, e'_3) avec : e'_1 = e_1 - e_2 + e_3, ce qui donne le vecteur de coordonnées \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}. e'_2 = e_1 + e_2 - e_3, ce qui donne le vecteur de coordonnées \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}. e'_3 = e_1 - e_3, ce qui donne le vecteur de coordonnées \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}. Vérifiez que la matrice de passage P est bien construite en plaçant ces trois vecteurs comme colonnes.

Exemple 2 : Application directe (Exercices Corrigés)

Le document suivant contient des solutions d'exercices qui demandent de trouver la matrice de passage. C'est une excellente occasion de vérifier votre compréhension.

[PDF] ♢ Corrigés des exercices du chapitre 9

Ce document contient plusieurs exercices résolus de construction de matrice de passage.

Appliquez la méthode que nous venons de voir pour trouver les matrices de passage et comparez votre résultat avec la solution. Dans l'Exercice 5, on vous donne une nouvelle base B' = (u, v, w) avec u = (1 ; 1 ; 0), v = (1 ; 0 ; 1) et w = (1 ; 1 ; 1). Lisez la question 1 et sa solution. La première colonne est (1,1,0), la deuxième (1,0,1), etc. Dans l'Exercice 9, on définit une nouvelle base B = (e_1, e_2) avec e_1=(3;2) et e_2=(2;1). Lisez la question 4.a et sa solution. La matrice P est bien \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

Pour une dernière confirmation, la vidéo ci-dessous montre un autre professeur appliquant exactement la même logique.

Exercice 3 (Matrice d'une application linéaire) [02433]

Cette vidéo d'Exo7Math, dans le cadre d'un exercice plus large, montre la construction de la matrice P.

Regardez le segment de cette vidéo. L'orateur explique comment il remplit les colonnes de la matrice de passage P avec les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B' (e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}). C'est exactement la même procédure.

Conclusion

La construction d'une matrice de passage $P$ d'une base canonique vers une nouvelle base $B^{'}$ est une opération directe et algorithmique.

Les points clés à retenir sont :

La matrice de passage $P$ sert de "traducteur" entre deux bases.
Méthode de construction : Les colonnes de $P$ sont les vecteurs de la nouvelle base, écrits avec leurs coordonnées dans l'ancienne base.
Dans le cas d'un passage depuis la base canonique, il suffit de prendre les coordonnées des nouveaux vecteurs de base tels qu'ils sont donnés et de les utiliser pour former les colonnes de $P$ .

Vous maîtrisez maintenant la première étape cruciale du changement de base. Dans la prochaine leçon, nous aborderons la deuxième étape indispensable : le calcul de l'inverse de la matrice de passage, $P^{- 1}$ . Cet inverse est nécessaire pour "traduire" dans l'autre sens (de $B^{'}$ vers $B$ ) et est fondamental pour la formule complète de changement de base d'une application linéaire, $M^{'} = P^{- 1} A P$ , que vous devez utiliser dans l'Exercice 10.