Calcul du rang d'une application linéaire

1. Qu'est-ce que le rang ?

En termes simples, le rang d'une application linéaire $f$, noté $\text{rg}(f)$, est la dimension de son image $\text{Im}(f)$.

Définition formelle :
$\text{rg}(f)=\dim (\text{Im}(f))$

Puisque l'image est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de la matrice $A$ associée à $f$, le rang correspond au nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes dans cette matrice. Comme nous l'avons vu, ce nombre est précisément le nombre de vecteurs que nous extrayons pour former une base de l'image.

La ressource suivante énonce cette définition de manière claire.

2. Méthode de calcul directe : le comptage des pivots

La méthode la plus directe pour calculer le rang découle logiquement de notre travail précédent.

1. Prenez la matrice $A$ de l'application linéaire.
2. Appliquez la méthode du pivot de Gauss pour la transformer en une matrice échelonnée.
3. Comptez le nombre de pivots (ou de lignes non nulles) dans la matrice échelonnée.

Ce nombre est le rang de la matrice, et donc le rang de l'application linéaire.

Cette méthode est extrêmement efficace car elle ne nécessite que l'échelonnement de la matrice, une opération que vous maîtrisez déjà.

L'article suivant détaille cette méthode pratique.

La vidéo suivante, que nous avons déjà croisée, conclut son raisonnement en calculant le rang de cette manière. C'est une excellente synthèse visuelle.

3. Le Théorème du Rang : une relation fondamentale

Il existe une autre façon, souvent plus rapide, de déterminer le rang si l'on connaît déjà le noyau. Cette méthode repose sur l'un des résultats les plus importants de l'algèbre linéaire en dimension finie : le théorème du rang (aussi appelé théorème de la dimension).

Pour une application linéaire $f:E\to F$, où $E$ est l'espace de départ de dimension finie, le théorème s'énonce ainsi :

• $\dim (\ker (f))$ est la dimension du noyau (le nombre de paramètres libres dans la résolution de $A\vec{x}=\vec{0}$).
• $\text{rg}(f)$ est le rang de $f$.
• $\dim (E)$ est la dimension de l'espace de départ (le nombre de colonnes de la matrice $A$).

Ce théorème est incroyablement utile. Si vous calculez la dimension du noyau (ce que nous avons appris à faire il y a deux leçons), vous pouvez en déduire le rang immédiatement par une simple soustraction, et inversement.

4. Application sur un exemple complet

Voyons comment ces deux approches fonctionnent en pratique. Soit $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ l'application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est :
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -3& 6\end{array}\right)$
L'espace de départ est ${\mathbb{R}}^3$, donc $\dim (E)=3$.

Méthode 1 : Calcul direct par les pivots

1. On échelonne la matrice $A$. On effectue l'opération $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ :
   $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
2. On compte les pivots. Il n'y a qu'un seul pivot (en position (1,1)).
3. Le rang est donc 1.
   $\text{rg}(f)=1$

Méthode 2 : Utilisation du théorème du rang

1. D'abord, on calcule $\dim (\ker (f))$. Pour cela, on résout le système homogène $A\vec{x}=\vec{0}$ :
   $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -3& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$
   Après échelonnement, le système se réduit à l'unique équation : $x-y+2z=0$, soit $x=y-2z$.
   Nous avons deux variables libres (paramètres), $y$ et $z$. Les solutions sont de la forme :
   $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}y-2z\\ y\\ z\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
   Une base du noyau est $\left\{(1,1,0),(-2,0,1)\right\}$. Il y a deux vecteurs dans la base, donc $\dim (\ker (f))=2$.

2. On applique le théorème du rang : $\dim (\ker (f))+\text{rg}(f)=\dim (E)$
   $2+\text{rg}(f)=3$
   $\text{rg}(f)=3-2=1$

Les deux méthodes donnent bien le même résultat. Cet exemple est tiré de l'exercice 1 de la ressource "Le théorème du rang" que vous avez consultée. La vidéo suivante résout un autre exemple complet, en calculant d'abord le noyau puis en en déduisant le rang et l'image, ce qui est une excellente illustration de la démarche.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons ajouté un outil d'analyse simple mais puissant à notre arsenal.

À retenir :

• Le rang d'une application linéaire $f$ est la dimension de son image : $\text{rg}(f)=\dim (\text{Im}(f))$.
• La méthode de calcul la plus directe consiste à échelonner la matrice et à compter le nombre de pivots.
• Le théorème du rang offre une alternative puissante : $\dim (\ker (f))+\text{rg}(f)=\dim (E)$. Il permet de trouver le rang si l'on connaît la dimension du noyau (et inversement).

Vous disposez maintenant de tous les outils pour calculer le noyau, l'image et le rang, ce qui vous prépare aux exercices 2 et 10 de votre liste.

Dans la prochaine leçon, nous conclurons ce module en utilisant le théorème du rang pour vérifier la cohérence des dimensions que nous calculons. Cela nous permettra de solidifier notre compréhension de la relation entre ces concepts avant de passer à l'étude de l'injectivité et de la surjectivité.