Détermination de la base de l'image (Im f) via les colonnes pivots

1. Qu'est-ce que l'image d'une application linéaire ?

Alors que le noyau est un sous-ensemble de l'espace de départ, l'image d'une application linéaire $f:E\to F$ est un sous-ensemble de l'espace d'arrivée $F$. C'est l'ensemble de tous les vecteurs $\vec{y}$ dans $F$ pour lesquels il existe au moins un vecteur $\vec{x}$ dans $E$ tel que $f(\vec{x})=\vec{y}$.

Formellement, la définition est :
$\text{Im}(f)=\{f(\vec{x})\mid \vec{x}\in E\}$

Tout comme le noyau, l'image est un sous-espace vectoriel, mais cette fois-ci de l'espace d'arrivée $F$.

La connexion avec les matrices est très directe : si une application linéaire est représentée par une matrice $A$, alors son image est l'espace engendré par les vecteurs colonnes de cette matrice. On appelle cet espace l'espace des colonnes de $A$, noté $\text{Col}(A)$.

Autrement dit : $\text{Im}(f)=\text{Col}(A)$.

Le document suivant résume cette idée de manière concise.

Cela nous donne une famille génératrice de l'image (l'ensemble des colonnes de A), mais pas nécessairement une base, car ces vecteurs colonnes ne sont pas toujours linéairement indépendants. Notre tâche est donc de trouver une méthode pour extraire une base de cette famille de vecteurs.

2. La méthode systématique : les colonnes pivots

Heureusement, il existe une méthode infaillible et algorithmique pour extraire une base de l'image à partir des colonnes de la matrice $A$. Cette méthode s'appuie, encore une fois, sur le pivot de Gauss.

Voici les étapes :

1. Échelonner la matrice : Prenez la matrice $A$ et transformez-la en une matrice échelonnée (ou échelonnée réduite) $R$ à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes.
2. Identifier les colonnes pivots : Repérez les colonnes de la matrice échelonnée $R$ qui contiennent un pivot.
3. Extraire la base : Les vecteurs colonnes de la matrice originale A qui se trouvent aux mêmes positions que les colonnes pivots de $R$ forment une base de l'image de $f$.

Attention au piège classique ! Il est fondamental de bien prendre les colonnes de la matrice de départ $A$, et non celles de la matrice échelonnée $R$. Les opérations sur les lignes modifient l'espace des colonnes.

Ce résultat est formalisé dans la ressource suivante, qui est la référence principale pour cette méthode.

3. Mise en pratique sur un exemple

Appliquons cette méthode. Prenons la matrice $A$ de l'exemple du document :
$A=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ -1& 1& -2& -1\end{array}\right]$

1. Échelonnement : Après application du pivot de Gauss, on obtient la forme échelonnée réduite $R$:
   $R=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

2. Identification des pivots : Les pivots sont dans les colonnes 1 et 2 de la matrice $R$.

3. Extraction de la base : On prend donc les colonnes 1 et 2 de la matrice originale $A$.
   Une base de $\text{Im}(f)$ est donc :
   ${\mathcal{B}}_{\text{Im}(f)}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\right\}$

La vidéo suivante illustre ce même principe d'extraction d'une base à partir des vecteurs colonnes.

Pour vous exercer, vous pouvez appliquer cette méthode à l'exercice 1.b) du document "Algèbre Linéaire et Applications" et vérifier votre résultat avec la solution fournie à la fin.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons complété notre vision de l'analyse d'une application linéaire en nous penchant sur son image.

Voici les points clés à retenir :

• L'image de $f$, notée $\text{Im}(f)$, est l'ensemble de toutes les sorties possibles de l'application. C'est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée.
• $\text{Im}(f)$ est équivalent à l'espace des colonnes de la matrice $A$ associée.
• La méthode la plus directe pour trouver une base de l'image consiste à échelonner la matrice $A$, à identifier les colonnes pivots, et à prendre les colonnes correspondantes de la matrice A originale.

Vous avez maintenant les outils pour trouver une base du noyau et une base de l'image pour n'importe quelle application linéaire donnée sous forme matricielle.

Dans la prochaine leçon, nous introduirons la notion de rang d'une application linéaire. Vous verrez que c'est une conséquence très simple du travail que nous venons de faire : le rang est tout simplement la dimension de l'image, c'est-à-dire le nombre de vecteurs dans sa base. Nous verrons ensuite comment le noyau et l'image sont liés par le fondamental théorème du rang.