Bonjour,
Dans la leçon précédente, nous avons maîtrisé la méthode du pivot de Gauss pour résoudre intégralement des systèmes d'équations linéaires, en traitant les cas à solution unique et à solutions multiples. Comme nous l'avions anticipé, cette compétence est le pilier de nombreux concepts en algèbre linéaire.
Aujourd'hui, nous allons immédiatement mettre en pratique cette méthode pour explorer une notion fondamentale : le noyau d'une application linéaire, noté . L'objectif de cette leçon est de vous apprendre à déterminer une base du noyau. Cela correspond directement à une partie des exercices 2 et 10 de votre liste. Vous verrez que trouver le noyau n'est rien d'autre que l'application directe de la résolution d'un type particulier de système d'équations.
1. Qu'est-ce que le noyau d'une application linéaire ?
Imaginez une application linéaire qui transforme des vecteurs d'un espace de départ en vecteurs d'un espace d'arrivée . Le noyau de est tout simplement l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace de départ qui, une fois transformés par , deviennent le vecteur nul de l'espace d'arrivée .
Formellement, la définition est la suivante :
Le noyau est un sous-ensemble de l'espace de départ . Plus précisément, c'est un sous-espace vectoriel de . Cela signifie qu'il contient le vecteur nul, et que toute combinaison linéaire de vecteurs du noyau reste dans le noyau.
La vidéo suivante introduit cette définition de manière très claire.
application linéaire • déterminer Ker(f) noyau et Im(f) l'image • injective surjective théorème rang
Cette vidéo, de la chaîne jaicompris Maths, présente la définition du noyau d'une application linéaire.
Regardez le début de la vidéo pour vous familiariser avec le concept. L'auteur explique que pour trouver le noyau, il faut résoudre l'équation f(u) = 0.
Si l'application linéaire est représentée par une matrice , alors l'équation devient l'équation matricielle . Le noyau de est donc l'ensemble des solutions de ce système homogène.
2. La méthode pour déterminer une base du noyau
La recherche d'une base du noyau est un processus algorithmique qui s'appuie directement sur la méthode du pivot de Gauss que vous connaissez déjà. Voici les étapes à suivre :
- Poser l'équation : Écrivez l'équation . Si est définie par sa matrice , cela se traduit par le système homogène .
- Résoudre le système : Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour échelonner la matrice du système.
- Exprimer les solutions : Identifiez les variables principales (correspondant aux pivots) et les variables libres. Exprimez les variables principales en fonction des variables libres, que vous traiterez comme des paramètres (par exemple, ).
- Extraire la base : Écrivez le vecteur solution sous forme paramétrique vectorielle. Les vecteurs qui multiplient chaque paramètre forment une base du noyau. Le nombre de ces vecteurs, qui est égal au nombre de variables libres, est la dimension du noyau.
Le document ci-dessous résume parfaitement cette méthode et la met en œuvre sur un exemple détaillé.
Noyau et image dans un espace vectoriel : Cours et exercices corrigés
Cet article du site "Progresser en Maths" détaille la procédure pour calculer le noyau.
Lisez la section "Méthode : calculer le noyau". Concentrez-vous sur l'exemple détaillé fourni pour l'application f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x, y, z) = (x + 2y - z, 2x + 4y - 2z, x + 2y - z). Notez bien comment, après avoir résolu le système, la solution est écrite sous la forme y(-2, 1, 0) + z(1, 0, 1). Les deux vecteurs (-2, 1, 0) et (1, 0, 1) forment alors la base du noyau.
3. Mise en pratique : exemples détaillés
Appliquons maintenant cette méthode à travers deux exemples concrets.
Exemple 1 : À partir de la formule de l'application
La vidéo suivante vous guide pas à pas dans le calcul du noyau pour une application de dans . C'est un excellent exemple car il montre chaque étape du raisonnement.
application linéaire • déterminer Ker(f) noyau et Im(f) l'image • injective surjective théorème rang
La suite de la vidéo précédente montre le calcul complet du noyau pour un exemple.
Regardez la section allant de la résolution. Suivez attentivement les étapes : L'auteur pose l'équation f(u) = (0,0), ce qui donne un système de deux équations à trois inconnues. Il résout le système en exprimant les variables x et z en fonction de y, qui est la variable libre. Il écrit le vecteur solution (x, y, z) en remplaçant x et z par leurs expressions en fonction de y. Finalement, il met le paramètre y en facteur pour faire apparaître le vecteur de la base du noyau : y * (-1, 1, -1). Le noyau est donc l'espace vectoriel engendré par le vecteur (-1, 1, -1).
Exemple 2 : À partir d'une matrice
Dans beaucoup de vos exercices, l'application linéaire sera directement donnée par sa matrice . Le processus est identique : on résout .
Le document suivant illustre cette approche matricielle.
Algèbre Linéaire et Applications
Cet extrait du manuel "Algèbre Linéaire et Applications" se concentre sur la méthode matricielle pour trouver le noyau.
Lisez l'exemple présenté dans cette section. L'auteur part d'une matrice A, la transforme en sa forme échelonnée réduite (FER), puis utilise cette forme pour trouver directement les solutions du système A\vec{x} = \vec{0}. Observez comment les deux variables libres, x_2=s et x_4=t, mènent à une base du noyau composée de deux vecteurs. Cette approche est particulièrement efficace et systématique.
Cette méthode est robuste et s'applique à toutes les situations. La clé est votre maîtrise du pivot de Gauss. La seule nouveauté ici est l'interprétation du résultat : l'ensemble des solutions du système homogène n'est pas juste un ensemble de solutions, c'est un sous-espace vectoriel appelé le noyau, et la forme paramétrique vous en donne une base.
Conclusion
Dans cette leçon, nous avons défini le noyau d'une application linéaire et, plus important encore, nous avons établi une méthode systématique pour en trouver une base.
Voici les points essentiels à retenir :
- Le noyau de (ou de sa matrice ) est l'ensemble des vecteurs tels que (ou ).
- Pour trouver une base du noyau, il suffit de résoudre le système homogène par la méthode du pivot de Gauss.
- Les variables libres de la solution deviennent les paramètres de la description du noyau.
- Les vecteurs directeurs qui apparaissent en factorisant ces paramètres forment la base du noyau.
Vous êtes maintenant équipé pour résoudre la partie "Déterminer le noyau" des exercices de votre objectif.
Dans la prochaine leçon, nous nous intéresserons à l'image d'une application linéaire. Vous découvrirez que le travail que nous faisons pour analyser la matrice avec le pivot de Gauss nous servira également à déterminer très efficacement une base de l'image.