Bonjour,
Dans les leçons précédentes, nous avons méthodiquement décomposé la résolution de systèmes linéaires. Nous avons d'abord appris à transformer un système en sa forme matricielle augmentée, puis à l'échelonner grâce aux opérations du pivot de Gauss. Enfin, nous avons vu comment analyser cette forme échelonnée pour prédire si un système admet une solution unique, une infinité de solutions, ou aucune.
Aujourd'hui, nous assemblons toutes ces pièces pour aboutir au résultat final : le calcul explicite des solutions. Cette leçon se concentre sur l'étape de "remontée", qui permet, à partir de la matrice échelonnée, de trouver les valeurs numériques des inconnues. C'est la dernière compétence clé nécessaire pour maîtriser entièrement la méthode du pivot de Gauss et résoudre les systèmes de l'Exercice 9 de votre liste d'objectifs.
1. Le principe de la "remontée" (Back-Substitution)
Une fois que la matrice augmentée d'un système est sous forme échelonnée (triangulaire supérieure), la résolution devient un processus algorithmique simple. L'idée est de partir de la dernière équation non nulle, qui contient le moins d'inconnues (souvent une seule), de la résoudre, puis d'utiliser ce résultat pour remonter équation par équation, en substituant les valeurs trouvées au fur et à mesure.
L'image ci-dessous illustre le processus complet du pivot de Gauss. Nous allons aujourd'hui nous concentrer sur la dernière étape : comment passer de la matrice échelonnée au vecteur solution final .
Il y a deux cas principaux à gérer : les systèmes avec une solution unique et ceux avec une infinité de solutions.
2. Cas 1 : Résolution d'un système à solution unique
C'est le cas le plus direct. Après l'échelonnage, vous obtenez un système triangulaire où le nombre de pivots est égal au nombre d'inconnues. Il n'y a aucune variable libre. La remontée est alors un simple calcul séquentiel.
La vidéo suivante montre très clairement cette étape de remontée sur un exemple concret.
Matrices : exercice classique de système (méthode du pivot de Gauss)
Cette vidéo résout un système 3x3 de A à Z. La dernière partie est consacrée à la phase de remontée.
Regardez attentivement comment, une fois le système triangulaire obtenu, l'auteur procède pour trouver les solutions. Le passage clé est la résolution en cascade. Il part de la dernière équation, -5z = -15, pour trouver z. Il substitue la valeur de z dans la deuxième équation, -2y + 5z = 13, pour trouver y. Enfin, il substitue les valeurs de y et z dans la première équation pour trouver x.
Cette méthode est systématique. Pour un système de n équations, vous partez de l'équation n, vous trouvez , puis vous remontez à l'équation n-1 pour trouver , et ainsi de suite jusqu'à .
3. Cas 2 : Résolution d'un système à infinité de solutions
Ce cas survient lorsque, après échelonnage, le nombre de pivots est inférieur au nombre d'inconnues. Les inconnues qui ne correspondent pas à une colonne de pivot sont appelées inconnues secondaires ou variables libres. Elles agiront comme des paramètres.
La démarche est la suivante :
- Identifier les inconnues principales (celles avec un pivot) et les inconnues secondaires.
- Poser que chaque inconnue secondaire est égale à un paramètre (par ex., , ).
- Utiliser la remontée pour exprimer chaque inconnue principale en fonction de ces paramètres.
- Écrire la solution sous forme de vecteur paramétrique.
Cette dernière étape est très importante. Elle consiste à séparer les termes constants des termes dépendants des paramètres. La vidéo suivante explique parfaitement comment formaliser cette solution.
Pivot de Gauss, 3 équations 4 inconnues. Systèmes linéaires exemple de résolution
Cette vidéo résout un système de 3 équations à 4 inconnues, qui admet donc une infinité de solutions avec des variables libres.
Concentrez-vous sur la manière dont la solution finale est construite à partir de ce passage. L'auteur part de la forme résolue et : Ajoute les équations triviales pour les paramètres (z = z, t = t). Exprime le vecteur solution (x, y, z, t) en séparant les constantes, les termes en z et les termes en t. Factorise les paramètres z et t pour faire apparaître une solution particulière (le vecteur constant) et les vecteurs directeurs de l'ensemble des solutions.
Cette écriture vectorielle sera fondamentale pour la suite du cours, notamment pour décrire le noyau d'une application linéaire.
4. Méthode complète et mise en pratique
Synthétisons la méthode complète du pivot de Gauss en un algorithme que vous pouvez appliquer à n'importe quel système :
- Écriture : Traduire le système d'équations en sa matrice augmentée .
- Échelonnage : Appliquer les opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la matrice en une forme échelonnée.
- Analyse :
- Si une ligne
[0 0 ... 0 | c]avec apparaît, le système est incompatible. STOP. - Sinon, le système est compatible. Compter le nombre de pivots
ret le nombre d'inconnuesp.
- Si une ligne
- Remontée et Résolution :
- Si (solution unique) : Utiliser la remontée pour trouver la valeur de chaque inconnue.
- Si (infinité de solutions) : Identifier les inconnues secondaires, les poser comme paramètres, et utiliser la remontée pour exprimer les inconnues principales en fonction de ces paramètres. Présenter la solution sous forme vectorielle.
Appliquons cela. Le document suivant contient des exercices corrigés détaillés qui sont parfaits pour s'entraîner.
[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
Ce document propose plusieurs exercices résolus qui couvrent les différents cas de figure. Les solutions sont très détaillées.
Concentrons-nous sur deux exemples : Solution unique : Suivez la résolution de l'Exercice 2. Repérez bien la phase d'échelonnage (jusqu'à la matrice G3) puis la phase de remontée (G4 à G6) qui isole chaque variable. Infinité de solutions : Étudiez maintenant la résolution de l'Exercice 3. Observez comment la ligne de zéros [0 0 0 0] apparaît, confirmant une infinité de solutions. L'auteur identifie z comme l'inconnue secondaire. Ensuite, la remontée exprime x et y en fonction de z. La fin du calcul montre comment écrire l'ensemble des solutions sous la forme paramétrique que nous avons vue dans la vidéo.
Je vous encourage à refaire ces deux exercices par vous-même, papier-crayon, en ne consultant la correction qu'en cas de blocage ou pour vérifier votre résultat final. C'est la meilleure façon de vous approprier la méthode.
Conclusion
Félicitations, vous maîtrisez désormais l'une des techniques les plus puissantes et les plus fondamentales de l'algèbre linéaire. La méthode du pivot de Gauss est un outil universel pour résoudre n'importe quel système d'équations linéaires.
Pour résumer, le processus se fait en deux temps :
- Phase d'élimination (descente) : On crée des zéros sous les pivots pour obtenir une matrice échelonnée.
- Phase de substitution (remontée) : On part de la dernière ligne et on remonte pour trouver la valeur de chaque inconnue, en gérant les variables libres s'il y en a.
Dans le prochain module, nous aborderons les concepts de noyau et d'image d'une application linéaire. Vous verrez immédiatement l'utilité de ce que nous venons d'apprendre : pour trouver une base du noyau d'une application (associée à une matrice ), il faut résoudre le système homogène , ce qui se fait... par la méthode du pivot de Gauss