Bonjour,
Dans la leçon précédente, nous avons appris à transformer méthodiquement n'importe quel système linéaire en une forme échelonnée grâce au pivot de Gauss. Cette étape de simplification est essentielle, mais elle n'est que la moitié du chemin. La vraie puissance de cette méthode réside dans ce que la forme échelonnée nous révèle.
Aujourd'hui, nous allons apprendre à interpréter cette forme échelonnée pour répondre à une question cruciale avant même de commencer le moindre calcul de solution : le système que nous étudions admet-il une solution unique, une infinité de solutions, ou aucune solution ? Maîtriser cette analyse est fondamental pour résoudre l'Exercice 9 et constitue une compétence clé en algèbre linéaire.
1. Les Trois Scénarios Possibles
Un système d'équations linéaires, quel que soit le nombre d'équations ou d'inconnues, ne peut aboutir qu'à l'un des trois résultats suivants. Géométriquement, pour un système à 3 inconnues, cela correspond à l'intersection de plans dans l'espace : ils peuvent se couper en un point (solution unique), selon une droite (infinité de solutions), ou ne pas avoir de point commun (aucune solution).
Le document suivant illustre ce principe.
[PDF] Équations linéaires en algèbre linéaire - Pearson.fr
Ce court extrait du chapitre 1 d'un manuel d'algèbre linéaire pose les bases et illustre graphiquement les trois cas de figure.
Lisez la partie introductive, en vous concentrant sur les figures 1 et 2 qui représentent les intersections de droites. Puis, lisez attentivement le paragraphe clé qui énonce la propriété générale : la règle des trois issues.
Notre objectif est de savoir comment identifier lequel de ces trois cas s'applique en examinant simplement la matrice échelonnée du système.
2. Le Théorème d'Existence et d'Unicité : La Règle du Jeu
L'analyse de la forme échelonnée de la matrice augmentée repose sur un théorème central qui établit des règles claires pour déterminer la nature de la solution. Pour l'appliquer, nous devons identifier deux choses : les colonnes pivots (les colonnes contenant un pivot) et les inconnues principales (les variables correspondant aux colonnes pivots). Les inconnues qui ne sont pas principales sont appelées inconnues secondaires ou variables libres.
[PDF] Équations linéaires en algèbre linéaire - Pearson.fr
Cette section énonce formellement le théorème qui est le fondement de notre analyse.
Lisez attentivement la section qui commence par le Théorème 2. Concentrez-vous sur les deux conditions énoncées.
En résumé, ce théorème nous donne une procédure en deux temps :
-
Le système est-il compatible (a-t-il au moins une solution) ?
- NON, s'il existe une ligne de la forme
[0 0 ... 0 | b]avecb ≠ 0. C'est une contradiction évidente, car cela reviendrait à écrire0 = b. - OUI, si aucune ligne de ce type n'apparaît.
- NON, s'il existe une ligne de la forme
-
Si le système est compatible, la solution est-elle unique ou infinie ?
- La solution est UNIQUE s'il n'y a aucune inconnue secondaire (c'est-à-dire que chaque inconnue est une inconnue principale).
- Il y a une INFINITÉ de solutions s'il y a au moins une inconnue secondaire (une variable libre).
Voyons maintenant comment identifier chaque cas en pratique.
3. Cas 1 : Aucune Solution (Système Incompatible)
C'est le cas le plus simple à détecter. Après avoir échelonné la matrice augmentée, si vous obtenez une ligne où tous les coefficients des variables sont nuls, mais le terme constant à droite ne l'est pas, le système est impossible.
Exemple : Une ligne [0 0 0 | 5] se traduit par l'équation 0x + 0y + 0z = 5, soit 0 = 5, ce qui est absurde.
La vidéo suivante illustre parfaitement ce cas.
Résolution de quelques systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss
Dans cette vidéo, le système S2 est résolu par la méthode de Gauss.
Regardez la résolution du système S2 entre ce passage. Observez comment les opérations sur les lignes mènent à deux équations contradictoires (-3y + 3z = -3 et 3y - 3z = 9). L'auteur en conclut que le système est incompatible et n'a aucune solution.
4. Cas 2 : Une Infinité de Solutions
Ce cas se produit lorsque le système est compatible (pas de ligne 0 = b), mais qu'il existe au moins une inconnue secondaire (une colonne sans pivot dans la partie A de la matrice). Cela signifie que nous avons plus d'inconnues que d'équations indépendantes.
La présence d'une ligne de zéros [0 0 ... 0 | 0] est un indice fréquent. Cette ligne correspond à 0 = 0, ce qui est toujours vrai mais n'apporte aucune information. C'est une équation redondante.
Pour décrire cet ensemble infini de solutions, on exprime les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires, qui peuvent alors prendre n'importe quelle valeur.
Résolution de quelques systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss
Cette partie de la vidéo aborde le système S3, qui a plus d'inconnues que d'équations.
Regardez l'analyse du système S3 de cet instant. L'auteur transforme le système et, à la fin, il reste une inconnue "libre" (la variable z). Remarquez comment il pose z = alpha (un paramètre) et exprime ensuite toutes les autres variables x, y et t en fonction de z. Chaque valeur de z donne une solution différente, d'où l'infinité de solutions.
5. Cas 3 : Une Solution Unique
Ce cas se produit lorsque le système est compatible ET que toutes les inconnues sont principales. Dans la forme échelonnée, cela se traduit généralement par une forme "triangulaire" stricte où le nombre de pivots est égal au nombre d'inconnues. Il n'y a aucune variable libre.
En l'absence de variable libre, la "remontée" du système (que nous verrons en détail dans la prochaine leçon) permet de trouver une et une seule valeur pour chaque inconnue.
6. Synthèse : L'étude d'un système avec paramètre
La meilleure façon de maîtriser ces trois cas est de les analyser dans un seul et même exercice. Les systèmes contenant un paramètre (par exemple, m) nous forcent à discuter des valeurs de ce paramètre qui mènent à chaque type de solution. C'est un exercice classique et très formateur.
Pivot de Gauss avec paramètre m. #pivot #Gauss#parametre
Cette excellente vidéo résout un système 3x3 contenant un paramètre m. L'analyse couvre les trois cas de figure.
Je vous propose de suivre l'analyse dans l'ordre suivant : D'abord, regardez la mise en place de la méthode jusqu'à l'obtention du système triangulaire final, entre ce passage. L'équation cruciale est la dernière : (2 - m - m²)z = 1 - m. Cas "Pas de solution" : Regardez l'analyse pour m = -2 à ce moment. Vous verrez que l'équation devient 0 * z = 3, ce qui est impossible. Cas "Infinité de solutions" : Regardez l'analyse pour m = 1 entre ce passage. Le système se réduit à une seule équation x + y + z = 1, laissant deux variables libres (y et z), ce qui génère une infinité de solutions. Cas "Solution unique" : Enfin, regardez le cas général où m est différent de 1 et -2, entre ici. Dans ce cas, on peut calculer une valeur unique pour z, puis pour y et x.
Conclusion
Aujourd'hui, nous avons appris à diagnostiquer un système linéaire simplement en inspectant sa forme échelonnée. C'est une compétence essentielle qui vous fait gagner un temps précieux et vous donne une compréhension profonde de la structure des solutions.
Les points clés à retenir sont les "signatures" de chaque cas dans la matrice augmentée échelonnée :
- Aucune solution : Présence d'une ligne
[0 0 ... 0 | b]avecb ≠ 0. - Infinité de solutions : Le système est compatible ET il y a au moins une inconnue secondaire (colonne sans pivot).
- Solution unique : Le système est compatible ET toutes les inconnues sont principales (chaque colonne de la matrice A a un pivot).
Dans la prochaine leçon, nous conclurons ce module en mettant tout cela en pratique. Nous allons établir la procédure complète pour résoudre explicitement un système par la méthode du pivot de Gauss, c'est-à-dire calculer la solution unique ou l'expression paramétrique de l'ensemble des solutions infinies.