Théorème du Rang et Cohérence des Dimensions

1. Le Théorème du Rang comme Outil de Vérification

Rappelons la formule du théorème du rang pour une application linéaire $f:E\to F$ :

L'idée est simple mais efficace. Vous disposez de méthodes distinctes pour calculer chaque terme :

1. $\dim (E)$ : C'est la dimension de l'espace de départ, qui correspond simplement au nombre de colonnes de la matrice $A$ de l'application $f$. C'est la valeur la plus facile à déterminer.
2. $\dim (\ker (f))$ : Vous la calculez en résolvant le système homogène $A\vec{x}=\vec{0}$. La dimension du noyau est le nombre de variables libres (ou de paramètres) dans la solution.
3. $\text{rg}(f)$ : Vous le calculez en échelonnant la matrice $A$ par la méthode du pivot de Gauss. Le rang est le nombre de pivots (ou de lignes non nulles) dans la matrice échelonnée.

Puisque les méthodes pour trouver $\dim (\ker (f))$ et $\text{rg}(f)$ sont indépendantes, vous pouvez les utiliser pour vous contrôler mutuellement. Si la somme de vos deux résultats est bien égale à la dimension de l'espace de départ, vous pouvez avoir une grande confiance en votre solution. Si ce n'est pas le cas, vous savez immédiatement qu'une erreur de calcul s'est glissée quelque part.

2. Une Méthode de Travail Fiable

Pour aborder les exercices de manière structurée et minimiser les erreurs, je vous propose le plan d'action suivant :

1. Identifier $\dim (E)$ : Regardez la matrice $A$ de l'application $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$. L'espace de départ est $E={\mathbb{R}}^n$, donc $\dim (E)=n$ (le nombre de colonnes).
2. Calculer $\dim (\ker (f))$ : Posez et résolvez le système $A\vec{x}=\vec{0}$. Comptez le nombre de paramètres nécessaires pour décrire les solutions. Ce nombre est $\dim (\ker (f))$.
3. Calculer $\text{rg}(f)$ : Appliquez le pivot de Gauss à la matrice $A$ pour obtenir une forme échelonnée. Comptez le nombre de pivots. Ce nombre est $\text{rg}(f)$.
4. Vérifier la cohérence : Calculez la somme $\dim (\ker (f))+\text{rg}(f)$. Ce résultat doit être égal à $\dim (E)$.

Si l'égalité n'est pas vérifiée, les causes les plus probables sont une erreur d'arithmétique dans le pivot de Gauss ou un décompte incorrect des variables libres.

3. Application sur un Exercice Complet

La vidéo suivante est un excellent exemple de cette méthode de travail. L'auteur calcule d'abord la dimension du noyau, puis la dimension de l'image (le rang), et utilise finalement le théorème du rang pour valider la cohérence de l'ensemble.

Cette démarche est exactement celle que vous devez adopter pour résoudre vos exercices avec confiance.

4. Entraînons-nous

Appliquons cette méthode sur un nouvel exemple. Soit $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ l'application linéaire dont la matrice est :
$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 3& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

Suivons notre plan d'action :

Étape 1 : Déterminer $\dim (E)$
L'application va de ${\mathbb{R}}^3$ à ${\mathbb{R}}^3$. L'espace de départ est $E={\mathbb{R}}^3$, donc $\dim (E)=3$.

Étape 2 : Calculer $\dim (\ker (f))$
On résout le système $B\vec{x}=\vec{0}$ :
$\{\begin{array}{rll}2x+4y+6z& =& 0\\ x+3y+5z& =& 0\\ y+2z& =& 0\end{array}$
De la troisième ligne, on tire $y=-2z$.
En substituant dans la deuxième ligne : $x+3(-2z)+5z=0⟹x-6z+5z=0⟹x=z$.
Vérifions avec la première ligne : $2(z)+4(-2z)+6z=2z-8z+6z=0$. L'équation est satisfaite.
Le vecteur solution est $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}z\\ -2z\\ z\end{array}\right)=z\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.
Il n'y a qu'un seul paramètre libre ($z$), donc $\dim (\ker (f))=1$.

Étape 3 : Calculer $\text{rg}(f)$
On échelonne la matrice $B$ :
$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 3& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftrightarrow L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& -2& -4\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$
$\stackrel{L_3\leftarrow L_3+\frac{1}{2}{L}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& -2& -4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
La matrice échelonnée a deux pivots (sur les deux premières lignes). Donc $\text{rg}(f)=2$.

Étape 4 : Vérifier la cohérence
On vérifie l'égalité du théorème du rang :
$\dim (\ker (f))+\text{rg}(f)=1+2=3$
Ce résultat est bien égal à $\dim (E)=3$. Nos calculs sont cohérents.

Conclusion

Cette leçon vous a montré comment transformer une formule théorique en un outil de travail pratique.

Points clés à retenir :

• Le théorème du rang, $\dim (\ker (f))+\text{rg}(f)=\dim (E)$, est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs.
• Adoptez une méthode structurée : calculez $\dim (\ker (f))$ et $\text{rg}(f)$ par des voies indépendantes, puis utilisez le théorème pour confirmer que la somme correspond à la dimension de l'espace de départ.
• Si le test échoue, c'est le signal qu'il faut revoir vos calculs, le plus souvent dans l'application du pivot de Gauss.

Vous avez maintenant complété l'analyse des concepts de noyau, d'image et de rang. Vous êtes prêt à les utiliser pour qualifier plus finement les propriétés des applications linéaires.

Dans la prochaine leçon, nous verrons comment ces deux valeurs, $\dim (\ker (f))$ et $\text{rg}(f)$, nous permettent de répondre directement aux questions "cette application est-elle injective ? surjective ? bijective ?". Vous verrez que la réponse se trouve presque entièrement dans les chiffres que vous savez maintenant calculer et vérifier.