Aplicação do Teorema do Valor Intermediário na Existência de Raízes

Olá! Na lição anterior, verificamos a continuidade comparando o limite de uma função com seu valor no ponto. Agora vamos usar a continuidade em todo um intervalo para responder a uma pergunta diferente: como garantir que uma equação tem solução, mesmo sem conseguir calcular essa solução exatamente?

Ao final, você saberá escolher um intervalo, verificar as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário e escrever uma justificativa completa para a existência de uma raiz. Também veremos o que o teorema não permite concluir.

De valores intermediários a raízes

Imagine uma função contínua em $[a,b]$, com $f(a)$ acima de determinada altura $d$ e $f(b)$ abaixo dela. Para ir de um valor ao outro, a função precisa assumir a altura $d$ em algum ponto do intervalo. Esse é o conteúdo do Teorema do Valor Intermediário (TVI): se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $d$ está entre $f(a)$ e $f(b)$, existe pelo menos um $c\in [a,b]$ tal que $f(c)=d$.

Assista à explicação gráfica e ao enunciado do teorema em O Teorema do Valor Intermediário | Cálculo 1, do canal Matemateca - Ester Velasquez. No trecho final, observe por que escolher $d=0$ transforma o resultado em uma garantia de raiz.

A figura representa o caso em que $f(a)>f(b)$. A linha horizontal está na altura $d$; onde ela encontra a curva, a abscissa é $c$. A curva até sobe um pouco antes de descer: o teorema não exige que a função seja crescente ou decrescente.

Quando $d$ está estritamente entre os valores das extremidades, podemos afirmar que $c\in (a,b)$. Se $d$ coincide com $f(a)$ ou $f(b)$, a conclusão $c\in [a,b]$ continua verdadeira, mas o ponto garantido pode ser a própria extremidade.

Para procurar uma raiz, queremos $f(c)=0$. Portanto, a forma mais usada do TVI diz:

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, existe pelo menos um $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Os sinais opostos asseguram que zero está estritamente entre os valores das extremidades. A continuidade assegura que esse valor intermediário é de fato atingido.

Como escrever uma prova de existência

Considere a equação

Em vez de tentar encontrar sua raiz por uma fórmula, definimos $f(x)=x^3+x-1$ e examinamos o intervalo $[0,1]$. Como $f$ é polinomial, é contínua em todo esse intervalo. Além disso,

Temos agora todas as peças da justificativa: $f$ é contínua em $[0,1]$, e zero está entre $f(0)$ e $f(1)$. Pelo TVI, existe $c\in (0,1)$ tal que $f(c)=0$. Em outras palavras, $x^3+x-1=0$ tem pelo menos uma solução entre $0$ e $1$.

Repare na diferença entre as duas tarefas: provamos que a solução existe e está localizada em um intervalo, mas não calculamos seu valor. Uma justificativa pelo TVI deve deixar explícitos a função, o intervalo, a continuidade, os valores nas extremidades e a conclusão. Apenas escrever “a função muda de sinal” omite a hipótese decisiva de continuidade.

Veja mais duas aplicações no vídeo. A primeira percorre uma prova de existência; a segunda mostra como intervalos menores podem revelar raízes que os sinais das extremidades do intervalo maior não evidenciam.

O mesmo cuidado aparece em uma aplicação escrita do Repositório da UNESP. Nela, o intervalo onde se quer garantir a raiz já foi especificado; por isso, é preciso verificar os sinais nesse intervalo, não em outro escolhido por conveniência.

O alcance — e os limites — da garantia

O TVI fornece uma condição suficiente para haver uma raiz, não um teste que detecta todas as raízes. Considere $q(x)=x^2-1$ em $[-2,2]$. Temos $q(-2)=q(2)=3$: os valores nas extremidades têm o mesmo sinal, então esse par de valores não permite aplicar o caso das raízes do TVI. Isso não significa que não haja raízes. Como $q(0)=-1$, podemos aplicar o teorema separadamente em $[-2,0]$ e $[0,2]$, garantindo uma raiz em cada intervalo. De fato, elas são $-1$ e $1$.

A mudança de sinal também não garante uma raiz única. A função $r(x)=x^3-x$ é contínua, com $r(-2)<0$ e $r(2)>0$, mas possui três raízes no intervalo: $-1$, $0$ e $1$. A conclusão do teorema é sempre “pelo menos uma”.

Por fim, sinais opostos sem continuidade não bastam. Defina

Embora $h(-1)=-1$ e $h(1)=1$, não existe $x\in [-1,1]$ para o qual $h(x)=0$. O salto em $0$, estudado na lição anterior, permite que a função passe de valores negativos a positivos sem assumir os valores intermediários. Tampouco se deve aplicar o TVI em um intervalo que contenha um ponto onde a função não está definida.

Se uma extremidade já satisfaz $f(a)=0$ ou $f(b)=0$, a raiz já foi encontrada ali: não é necessário usar a versão de sinais opostos para justificá-la.

Por que a continuidade é tão importante?

Há uma maneira de compreender o TVI que vai além do desenho. Suponha $f(a)<0<f(b)$. Divida $[a,b]$ ao meio. Se a função valer zero no ponto médio, encontramos a raiz. Caso contrário, conserve a metade cujas extremidades ainda apresentam sinais opostos e repita o procedimento.

Se nenhuma etapa encontrar zero exatamente, obtemos intervalos encaixados cada vez menores. Seus comprimentos tendem a zero, e suas extremidades se aproximam de um mesmo ponto $c$. Em cada intervalo conservado, o valor da função na extremidade esquerda é negativo e na direita é positivo. Pela continuidade em $c$, os valores da função nessas duas sequências de extremidades se aproximam ambos de $f(c)$. Esse mesmo número não pode ser positivo, pois é limite de valores negativos; nem pode ser negativo, pois também é limite de valores positivos. Logo, $f(c)=0$.

Esse argumento esclarece o papel da continuidade: ela permite relacionar os valores observados em pontos cada vez mais próximos com o valor assumido no ponto para o qual eles convergem. Ele também explica por que a garantia é de existência, mesmo quando não conhecemos uma expressão exata para $c$.

Para guardar

Para justificar a existência de uma raiz pelo TVI, escolha um intervalo fechado, verifique que a função é contínua em todo ele e calcule os valores nas extremidades. Se esses valores tiverem sinais opostos, conclua que existe pelo menos uma raiz entre as extremidades. Sinais iguais não descartam raízes; sinais opostos não asseguram unicidade; e sem continuidade a conclusão pode falhar.

Na próxima lição, passaremos de uma garantia sobre valores assumidos por uma função contínua à derivada, que descreve como seus valores variam localmente.