Continuidade e Classificação das Descontinuidades de uma Função

Olá! Na lição anterior, simplificamos expressões que produziam $0/0$ e vimos que um limite pode existir mesmo quando a fórmula original não está definida no ponto. Agora vamos usar essa distinção para responder a outra pergunta: a função é contínua nesse ponto?

Ao final da lição, você poderá verificar a continuidade tanto pela fórmula quanto pelo gráfico e classificar as descontinuidades mais comuns como removíveis, de salto ou infinitas. Esse cuidado com o comportamento em um ponto será importante na próxima lição, quando estudaremos condições que garantem a existência de raízes em um intervalo.

Continuidade exige que o limite encontre o valor da função

Dizer que $f$ é contínua em $a$ significa que, ao aproximarmos $x$ de $a$, os valores de $f(x)$ se aproximam do valor que a função efetivamente assume em $a$:

Essa igualdade reúne três exigências. O valor $f(a)$ precisa estar definido; o limite bilateral precisa existir como número real; e os dois precisam ser iguais. Se qualquer exigência falhar, a função não é contínua em $a$.

Assista à apresentação dessas condições em CÁLCULO I: CONTINUIDADE DE FUNÇÕES, do canal Matsolve com Prof. José Sérgio. Observe por que verificar que $f(a)$ existe, isoladamente, não basta.

O teste pode ser feito nesta ordem: primeiro encontre $f(a)$; depois calcule os limites pela esquerda e pela direita, se ambos os lados fizerem parte do domínio próximo a $a$; por fim, compare o limite obtido com $f(a)$. Calcular o limite e calcular o valor da função são tarefas diferentes. A simplificação algébrica de uma fração pode resolver a primeira sem resolver a segunda.

Considere, por exemplo,

Perto de $1$, mas fora desse ponto, $f(x)=x+2$. Assim, ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3$. Entretanto, $f(1)=7$. A função está definida em $1$, e seu limite existe, mas ela não é contínua ali porque $3\ne 7$.

O que observar em um gráfico

No gráfico, um círculo aberto costuma indicar uma altura da qual a curva se aproxima, mas que não é assumida naquele ponto. Um ponto preenchido indica o valor da função. Para decidir a continuidade, não basta localizar o ponto preenchido: observe também a altura à qual o gráfico se aproxima por cada lado.

No próximo trecho do vídeo, o professor examina um gráfico com três pontos problemáticos. Tente distinguir, em cada um, se falta o valor da função, se os limites laterais não coincidem ou se o limite difere do valor atribuído.

A imagem abaixo reúne três configurações. Em todas, o comportamento perto de $a$ é decisivo; mudar apenas o valor marcado exatamente em $a$ não muda nenhum dos limites laterais.

Classificar a descontinuidade pelos limites laterais

Depois de concluir que uma função não é contínua em $a$, investigue como a continuidade falhou. O valor isolado de $f(a)$ não determina a classificação; os limites próximos ao ponto é que a orientam.

Assista à explicação das três categorias no vídeo. Compare cada descrição com o painel correspondente da imagem acima.

Uma descontinuidade removível ocorre quando a função não é contínua em $a$, mas existe um limite bilateral finito:

Pode acontecer de $f(a)$ não estar definido ou de estar definido com um valor diferente de $L$. Em ambos os casos, definir ou redefinir apenas $f(a)=L$ torna a função contínua nesse ponto. O termo removível descreve justamente essa possibilidade de reparo.

Uma descontinuidade de salto ocorre quando os dois limites laterais são finitos, mas diferentes:

Não existe, portanto, limite bilateral em $a$. Atribuir qualquer valor a $f(a)$ não consegue fazer as duas tendências coincidirem.

Uma descontinuidade infinita ocorre quando pelo menos um dos lados apresenta limite infinito, como $+\infty$ ou $-\infty$. Nesse caso, os valores da função se tornam ilimitados ao se aproximarem de $a$; costuma haver uma assíntota vertical em $x=a$. Lembre-se de que $+\infty$ e $-\infty$ não são valores reais de limite que possam ser igualados a $f(a)$.

Essas são três categorias importantes, mas não esgotam todas as possibilidades. Por exemplo, perto de $0$, $\mathrm{sen}(1/x)$ oscila repetidamente em vez de se aproximar de alturas laterais finitas ou de crescer sem limite. A ausência de limite bilateral, por si só, não autoriza chamar toda descontinuidade de salto.

Da fórmula ao diagnóstico

Em uma função definida por partes, comece identificando qual regra fornece $f(a)$. Para o limite, use as regras válidas quando $x$ está próximo de $a$, mas $x\ne a$. Essa separação aparece com clareza nos exemplos algébricos do próximo trecho: a mesma expressão próxima ao ponto pode resultar em continuidade, descontinuidade removível ou ausência de definição, dependendo do que ocorre no próprio ponto.

Podemos generalizar essa ideia mantendo o valor no ponto como um parâmetro:

Para $x\ne 1$, a fatoração estudada na lição anterior dá

Logo, ${\lim }_{x\to 1}p(x)=2$, enquanto $p(1)=c$. A função é contínua em $1$ exatamente quando $c=2$. Para qualquer outro valor de $c$, a descontinuidade é removível: o limite finito já existe, e apenas o valor no ponto precisa ser corrigido. Se a segunda linha da definição nem existisse, a fórmula original teria um furo em $1$, também removível pela atribuição do valor $2$.

Agora compare com uma função cujas regras dos dois lados não se encontram:

Temos $q(0)=5$, mas

Como os limites laterais são finitos e distintos, $q$ tem uma descontinuidade de salto em $0$. Substituir o $5$ por $1$, por $2$ ou por qualquer outro número não eliminaria o salto.

Finalmente, podemos até atribuir um valor a uma função no local de uma assíntota vertical:

Embora $r(3)=0$, ocorre

A descontinuidade em $3$ é infinita. Definir a função nesse ponto não altera o crescimento ilimitado à sua volta.

Há um ajuste quando $a$ é uma extremidade do domínio: usa-se o lado pelo qual é possível aproximar-se dentro dele. Por exemplo, $\sqrt{x}$ é contínua em $0$ no domínio $x\ge 0$, pois ${\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=\sqrt{0}=0$. No interior de um intervalo, porém, o limite bilateral exige a concordância dos dois lados.

Para guardar

Continuidade em $a$ pede a concordância entre valor no ponto e limite finito ao se aproximar do ponto. Se a função for descontínua, calcule os limites laterais antes de classificá-la: um limite bilateral finito indica uma falha removível; limites laterais finitos e diferentes indicam um salto; uma tendência infinita em pelo menos um lado indica descontinuidade infinita.

Na próxima lição, passaremos da continuidade em um ponto à continuidade ao longo de um intervalo. Ela permitirá justificar que certas funções necessariamente assumem valores intermediários — inclusive zero.