Resolución de Límites Indeterminados por Factorización, Racionalización e Identidades Trigonométricas

Olá! Na lição anterior, vimos que um denominador próximo de zero pode produzir um limite infinito, mas deixamos uma ressalva: se numerador e denominador tendem a zero, os sinais não bastam para decidir o resultado. É esse caso que vamos investigar agora.

Você aprenderá a transformar limites com a forma $0/0$ por fatoração, racionalização e identidades trigonométricas. Essas técnicas serão úteis quando, mais adiante, a derivada for definida por um limite que também pode apresentar $0/0$ na substituição direta.

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O que a substituição direta nos diz — e o que não diz

Comece substituindo o valor do qual $x$ se aproxima. Se a expressão resultante for um número real, em geral o limite já está calculado pelas regras usuais. Se o numerador tender a um número não nulo e o denominador tender a zero, retome a análise de sinais e de limites laterais da lição anterior.

Já $0/0$ é uma forma indeterminada, não uma resposta. Compare estes comportamentos quando $x\to 0$:

$$\frac{x}{x}=1,\frac{x^2}{x}=x,\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}(x\ne 0).$$

As três expressões apresentam $0/0$ na substituição direta, mas a primeira tem limite $1$, a segunda tem limite $0$, e a terceira tem comportamentos infinitos de sinais opostos nos dois lados. Precisamos, portanto, descobrir o que acontece perto do ponto, em vez de tentar atribuir um valor à fração no ponto.

O fluxograma abaixo ajuda a organizar a escolha da técnica. Leia suas saídas como pistas: um numerador não nulo sobre um denominador que tende a zero, por exemplo, ainda exige atenção aos lados e aos sinais.

O princípio comum às três técnicas é encontrar uma expressão igual à original para os valores próximos do ponto em que ela está definida, mas mais fácil de avaliar. Não precisamos que as duas expressões tenham o mesmo valor exatamente no ponto investigado.

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Fatoração: revelar um fator que pode ser cancelado

Quando aparecem polinômios, procure fatores comuns antes de fazer qualquer cancelamento. Assista a duas resoluções por fatoração na aula Cálculo: Indeterminação nos Limites, do Professor Ferretto. Na primeira, observe por que se simplifica a expressão antes de substituir; na segunda, acompanhe a fatoração de um polinômio de segundo grau.

Considere o exemplo indicado no ramo de fatoração do fluxograma:

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x^2-2x-3}.$$

Substituir $x=-1$ produz $0/0$. Fatorando ambos os polinômios, obtemos

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$

Para $x\ne -1$, o fator $x+1$ é diferente de zero e pode ser cancelado:

$$\frac{x^2-x-2}{x^2-2x-3}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-3)(x+1)}=\frac{x-2}{x-3}.$$

Agora o denominador da expressão simplificada não zera em $-1$. Logo,

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x^2-2x-3}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}.$$

O cancelamento não definiu a fração original em $x=-1$. Ele mostrou que, para todo $x$ suficientemente próximo de $-1$, exceto o próprio $-1$, a fração coincide com outra cuja aproximação podemos calcular.

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Racionalização: usar o conjugado para expor o fator

Se uma diferença com raiz quadrada aparece na forma $0/0$, fatorar diretamente pode ser difícil. Nesse caso, o conjugado usa a identidade

$$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$

para trocar uma diferença de raízes por uma diferença mais simples. Veja a demonstração de racionalização na mesma aula, prestando atenção à operação feita tanto no numerador quanto no denominador.

No exemplo do fluxograma,

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4},$$

a substituição dá $0/0$. O conjugado do numerador $\sqrt{x}-2$ é $\sqrt{x}+2$. Para $x\ne 4$, multiplicamos por uma fração igual a $1$:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}.$$

Portanto,

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$$

A raiz também pode estar no denominador. Por exemplo, em $(x-1)/(\sqrt{x+3}-2)$, com $x\to 1$, multiplicar pelo conjugado do denominador transforma $(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)$ em $x-1$. O fator comum então se cancela. A pergunta orientadora não é “há uma raiz?”, mas “qual produto notável pode revelar o fator responsável pelo $0/0$?”

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Identidades trigonométricas: reescrever antes de avaliar

Com seno e cosseno, uma identidade pode revelar uma expressão conhecida. Uma delas é o limite trigonométrico fundamental:

$$\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}u}{u}=1,$$

com o ângulo $u$ medido em radianos. O numerador precisa ter como argumento exatamente a expressão do denominador; além disso, essa expressão precisa tender a zero. Assim, $\mathrm{sen}(6x)/(2x)$ não tem limite $1$ por aplicação imediata da fórmula: é preciso ajustá-la primeiro.

Assista à apresentação desse limite e ao ajuste do denominador no vídeo Limite Fundamental Trigonométrico: Definição e Exercícios, do canal Matemateca — Ester Velasquez.

De fato,

$$\frac{\mathrm{sen}(6x)}{2x}=3\frac{\mathrm{sen}(6x)}{6x}(x\ne 0),$$

e o limite vale $3$, não $1$.

Outras identidades podem resolver o problema ainda mais diretamente. Usando a identidade do dobro do ângulo,

$$\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}x\cos x,$$

temos, para $x$ próximo de zero e diferente de zero,

$$\frac{\mathrm{sen}x}{\mathrm{sen}(2x)}=\frac{\mathrm{sen}x}{2\mathrm{sen}x\cos x}=\frac{1}{2\cos x}.$$

Como $\cos x\to 1$ quando $x\to 0$,

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sen}x}{\mathrm{sen}(2x)}=\frac{1}{2}.$$

Aqui foi a identidade que expôs o fator cancelável. Nem todo limite trigonométrico precisa usar explicitamente $\mathrm{sen}x/x$.

Em outros casos, conjugado e identidade trigonométrica trabalham juntos. Assista ao trecho seguinte do vídeo para ver essa combinação aplicada a $(1-\cos x)/x$.

O limite abaixo se parece com o do vídeo, mas seu denominador é $x^2$, não $x$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}.$$

Multiplicando pelo conjugado $1+\cos x$ e usando a identidade pitagórica $1-{\cos }^{2}x={\mathrm{sen}}^{2}x$, obtemos, para $x\ne 0$,

$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}={\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^2\frac{1}{1+\cos x}.$$

Agora cada fator tem um limite conhecido. O primeiro tende a $1^2$; o segundo, a $1/2$. Portanto,

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.$$

A diferença entre os denominadores $x$ e $x^2$ muda a resposta. Essa é mais uma razão para manipular a expressão inteira, em vez de reconhecer apenas um trecho familiar e adivinhar o resultado.

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Para guardar

Diante de um limite que apresenta $0/0$, não conclua que ele vale zero nem que é infinito. Procure uma expressão equivalente para $x$ próximo do ponto: fatores comuns em polinômios, conjugados em diferenças com raízes e identidades em expressões trigonométricas. Depois da reescrita, verifique se a substituição direta passou a ser válida. Em limites com seno, confira também se o argumento corresponde ao denominador e se está em radianos.

Na próxima lição, distinguiremos com mais cuidado o limite de uma função em um ponto do valor que ela assume nesse ponto. Essa distinção permitirá determinar continuidade e classificar descontinuidades.