Limites Laterais e Infinitos de Funções de Uma Variável

Olá! Começamos o curso por uma pergunta que reaparecerá nas derivadas e nas integrais: o que uma função faz quando a variável se aproxima de um ponto? Nesta lição, você aprenderá a calcular essa aproximação separadamente pela esquerda e pela direita e a reconhecer quando os valores da função crescem ou diminuem sem limite.

Ao final, a ideia é que você consiga interpretar um gráfico, escolher a expressão correta de uma função definida por partes e determinar o sinal de um limite infinito — sem confundir nenhum desses comportamentos com o valor da função no ponto.

Aproximar-se não é chegar

Quando escrevemos ${\lim }_{x\to a}f(x)$, investigamos $f(x)$ para valores de $x$ próximos de $a$, mas diferentes de $a$. Há duas maneiras de fazer essa aproximação:

O sinal sobrescrito indica o lado pelo qual $x$ se aproxima. Não indica se $f(x)$ é positivo ou negativo. Por exemplo, aproximar-se de $1$ pela esquerda significa usar valores como $0,9$, $0,99$ e $0,999$; pela direita, valores como $1,1$, $1,01$ e $1,001$.

Comece observando como essa distinção aparece em um gráfico:

Se os dois lados se aproximam do mesmo número $L$, então o limite bilateral existe e vale $L$:

Aqui supomos que há pontos do domínio arbitrariamente próximos de $a$ dos dois lados. Se os limites laterais são números diferentes, não existe limite bilateral. O valor isolado $f(a)$, por sua vez, não decide essa questão: ele pode ser igual ao limite, diferente dele ou nem estar definido.

O Exemplo 1 da leitura a seguir ajuda a separar visualmente essas três informações.

Uma função por partes: qual expressão usar?

Na imagem abaixo, a regra da função muda em $x=1$. Esse é precisamente o lugar em que precisamos examinar cada lado por conta própria.

A definição algébrica é

Pela esquerda, os valores próximos de $1$ satisfazem $x<1$, portanto pertencem ao trecho $x+3$. Como essa expressão é um polinômio, podemos avaliar o valor para o qual ela se aproxima substituindo $x$ por $1$:

Pela direita, usamos o outro trecho, mesmo que a condição $x>1$ não inclua o próprio $1$:

Os limites laterais são diferentes. Logo, ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ não existe. Já $f(1)=4$, pois a primeira condição inclui $x=1$. Note a diferença entre as perguntas: para calcular $f(1)$, verificamos qual regra vale no ponto; para calcular um limite lateral, verificamos qual regra vale perto do ponto, do lado pedido.

Quando a aproximação não leva a um número

Um limite lateral pode não tender a um valor finito. Considere

Quando $x$ se aproxima de $2$ pela direita, $x-2$ é positivo e cada vez menor. Seu recíproco assume valores positivos cada vez maiores:

Pela esquerda, $x-2$ é negativo e cada vez mais próximo de zero. O recíproco assume valores negativos com magnitude cada vez maior:

Escrever $+\infty$ ou $-\infty$ descreve um comportamento, não um número real que a função alcança. No primeiro caso, $g(x)$ ultrapassa qualquer valor positivo escolhido se tomarmos $x>2$ suficientemente próximo de $2$; no segundo, fica abaixo de qualquer valor negativo escolhido se tomarmos $x<2$ suficientemente próximo. Em particular, $g(2)$ não está definido, mas isso não impede que seus limites laterais sejam descritos.

Veja agora uma análise em vídeo do sinal do denominador:

Se ao menos um dos limites laterais de $f$ em $a$ é $+\infty$ ou $-\infty$, dizemos que a reta $x=a$ é uma assíntota vertical do gráfico. No exemplo de $g$, $x=2$ é uma assíntota vertical. Como os comportamentos à esquerda e à direita têm sinais opostos, não há um limite bilateral único em $2$.

Um método confiável para calcular o sinal

Em uma fração cujo denominador se aproxima de zero, não basta dizer “o denominador zera, então o limite é infinito”. Primeiro é preciso examinar o numerador e os sinais em cada lado.

Compare $g(x)$ com

O quadrado é positivo tanto para $x<2$ quanto para $x>2$, desde que $x\ne 2$. À medida que $x$ se aproxima de $2$, esse denominador positivo se torna tão pequeno quanto quisermos. Portanto,

Nesse caso, também podemos escrever ${\lim }_{x\to 2}h(x)=+\infty$: ambos os lados têm o mesmo comportamento infinito. Isso não significa que exista um limite bilateral finito.

Uma forma precisa de enxergar a afirmação é escolher qualquer altura $M>0$. Se $x\ne 2$ e

então $1/(x-2{)}^2>M$. Ou seja, podemos fazer $h(x)$ ultrapassar qualquer altura $M$ aproximando $x$ suficientemente de $2$.

Para frações desse tipo, use a seguinte ordem de raciocínio:

1. Observe o numerador perto do ponto. Se ele se aproxima de um número diferente de zero, determine seu sinal.
2. Observe o denominador em cada lado. Um fator como $x-a$ troca de sinal ao atravessar $a$; $(x-a{)}^2$ permanece positivo.
3. Combine os sinais. Uma fração positiva cuja magnitude cresce sem limite tende a $+\infty$; uma negativa cuja magnitude cresce sem limite tende a $-\infty$.

Há uma ressalva importante: se numerador e denominador tendem a zero, essa análise, sozinha, não determina o limite. Por exemplo, $(x-2)/(x-2)=1$ para todo $x\ne 2$, apesar de ambas as partes tenderem a zero. Trataremos sistematicamente dessas formas indeterminadas na próxima lição.

Por fim, não confunda limite infinito perto de um ponto, como $x\to 2$ com $f(x)\to +\infty$, com uma pergunta sobre o comportamento quando $x\to +\infty$. Nesta lição, o ponto de aproximação de $x$ foi finito; quem cresceu sem limite foram os valores da função.

Para guardar

Um limite lateral acompanha a função apenas de um lado do ponto; o sinal sobrescrito pertence à aproximação de $x$. Um limite bilateral finito existe quando os dois limites laterais são o mesmo número, independentemente do valor da função no próprio ponto. Se os valores crescem ou diminuem sem limite, usamos $+\infty$ ou $-\infty$ para registrar esse comportamento e, em frações, determinamos o sinal examinando numerador e denominador em cada lado.

Na próxima lição, esse cuidado com o que acontece perto do ponto será essencial para resolver limites em que a substituição direta produz uma forma indeterminada.