Derivada: Taxa de Variação e Inclinação da Tangente

Olá! Na lição anterior, usamos a continuidade para garantir que uma função assume certos valores em um intervalo. Agora a pergunta muda: quão rapidamente o valor da função está mudando perto de um ponto? A resposta nos levará à derivada.

Nesta lição, você verá por que a mesma expressão matemática descreve uma taxa de variação média e a inclinação de uma reta secante. Ao tomar seu limite, obteremos duas interpretações da derivada: taxa de variação instantânea e inclinação da reta tangente. Esse significado será a base para calcular derivadas diretamente pela definição na próxima lição.

Duas medições fornecem uma taxa média

Suponha que $f(x)$ represente uma grandeza que depende de $x$. Entre $x=a$ e $x=b$, a grandeza varia $f(b)-f(a)$, enquanto a variável independente varia $b-a$. A razão entre essas variações é a taxa de variação média:

Ela descreve o intervalo inteiro; não afirma que a função mudou no mesmo ritmo em cada ponto dele.

Por exemplo, considere a posição de um objeto, em metros, dada em função do tempo, em segundos, por $s(t)=2t^2-1$. Temos $s(1)=1$ e $s(3)=17$. Portanto, sua velocidade média entre $1$ e $3$ segundos é

O valor $8\text{m/s}$ resume o deslocamento nesses dois segundos. Para saber a velocidade no instante $t=1$, precisamos examinar intervalos cada vez menores que comecem em $1$.

Assista à introdução de Cálculo I - Aula 05 - Derivada, da UNIVESP. O vídeo relaciona taxas médias e instantâneas e explica por que a substituição direta no quociente não fornece a resposta.

Aproximar os instantes sem igualá-los

Escrevamos o segundo instante como $1+h$. O número $h$ é o incremento no tempo: pode ser positivo ou negativo, mas, ao calcular a taxa média, não pode ser zero. Para nossa função posição,

Assim, a velocidade média entre os instantes $1$ e $1+h$ é

Quanto mais próximo de zero estiver $h$, mais curta será a janela de tempo examinada. Com $h=0,1$, a velocidade média é $4,2\text{m/s}$; com $h=-0,1$, é $3,8\text{m/s}$. As taxas obtidas dos dois lados se aproximam de $4\text{m/s}$. Logo, a velocidade instantânea em $t=1$ é

Não fizemos $h=0$ no quociente original: isso produziria uma divisão por zero. Primeiro simplificamos a expressão válida para $h\ne 0$; depois calculamos o limite. É justamente aqui que as técnicas de limites estudadas anteriormente entram no estudo das derivadas.

O mesmo procedimento vale para qualquer função $f$ definida em torno de um ponto $a$. Sua derivada em $a$, indicada por $f^{\prime }(a)$, é

desde que esse limite exista e seja finito. Como $x=a+h$, podemos escrever a definição de forma equivalente:

As duas formas descrevem a mesma aproximação: o segundo valor da variável se aproxima de $a$, sem ser igual a $a$ durante o cálculo do quociente. A derivada conserva as unidades da taxa média. Se $s$ é medida em metros e $t$ em segundos, $s^{\prime }(t)$ é medida em metros por segundo.

Da reta secante à reta tangente

Há uma leitura geométrica para o quociente que acabamos de usar. No gráfico de $f$, fixe o ponto $P=(a,f(a))$ e escolha outro ponto $Q=(a+h,f(a+h))$. A reta que passa por dois pontos do gráfico é uma secante. Sua inclinação é a variação vertical dividida pela variação horizontal:

Observe a figura. A secante que passa por $P$ e $Q_1$ usa um segundo ponto mais distante; aquela que passa por $P$ e $Q_2$ usa um ponto mais próximo. Quando o segundo ponto se aproxima de $P$, examinamos o limite das inclinações dessas secantes.

Veja essa passagem em movimento em Cálculo I - Aula 07 - Reta Tangente, também da UNIVESP.

Quando o limite existe e é finito, definimos a inclinação da reta tangente ao gráfico em $P$ por esse limite. Portanto,

Não são duas fórmulas independentes: taxa de variação instantânea e inclinação da tangente são duas interpretações do mesmo limite. A primeira descreve a mudança de uma grandeza; a segunda descreve a geometria de seu gráfico.

No exemplo da posição $s(t)=2t^2-1$, a secante entre $t=1$ e $t=3$ tem inclinação $8$. Já a tangente no ponto $(1,1)$ tem inclinação $s^{\prime }(1)=4$. Se quisermos escrever sua equação, usamos o ponto e a inclinação:

Aqui, o eixo horizontal representa tempo e o vertical representa posição. A inclinação numérica dessa tangente é, por isso, a velocidade instantânea no instante correspondente.

O que a inclinação permite concluir

O sinal de $f^{\prime }(a)$ descreve a tendência local do gráfico em $a$. Uma derivada positiva corresponde a uma tangente que sobe da esquerda para a direita; uma negativa, a uma tangente que desce; uma derivada nula, a uma tangente horizontal. Se $f$ representa posição em função do tempo, o sinal da derivada indica o sentido da velocidade ao longo do eixo escolhido. Velocidade negativa não significa ausência de movimento: significa movimento no sentido negativo desse eixo.

Uma derivada nula em um ponto tampouco significa que a função seja constante em um intervalo. Ela informa apenas que a inclinação da tangente naquele ponto é zero. Mais adiante, estudaremos como relacionar derivadas ao comportamento da função em intervalos inteiros.

Por fim, ter um valor $f(a)$ não basta para garantir uma derivada em $a$. O limite das taxas médias precisa chegar ao mesmo valor finito pelos dois lados. A função $f(x)=|x|$, por exemplo, é contínua em $0$, mas suas inclinações ao se aproximar desse ponto pela esquerda e pela direita não concordam. Isso antecipa uma distinção importante: continuidade e existência de derivada não são a mesma condição.

Para guardar

Uma taxa média compara os valores de uma função em dois pontos. A derivada toma o limite dessas taxas quando o segundo ponto se aproxima do primeiro. No gráfico, as taxas médias são inclinações de secantes; quando seu limite existe e é finito, a derivada é a inclinação da tangente. Em aplicações, esse mesmo número expressa uma taxa de variação instantânea, com as unidades apropriadas.

Na próxima lição, usaremos a definição como ferramenta de cálculo: partiremos de funções simples e encontraremos suas derivadas por meio do quociente de diferenças e de limites.