Derivada pela Definição em Funções Simples

Olá! Na lição anterior, a derivada apareceu como o limite das taxas médias de variação: ela mede uma taxa instantânea e, no gráfico, a inclinação da reta tangente. Agora vamos calcular esse limite. Começaremos com funções constantes e afins, passaremos por polinômios e veremos como lidar com uma raiz e uma fração.

O objetivo não é memorizar uma lista de resultados. É entender por que a álgebra de cada função permite calcular sua derivada diretamente pela definição.

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O procedimento: manter o incremento até a hora certa

Para calcular a derivada de $f$ em um ponto $a$, partimos de

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Durante a simplificação, $h\ne 0$: os dois valores da variável ainda são distintos. Só depois de simplificar o quociente calculamos o limite. Uma sequência de trabalho é:

1. Encontrar $f(a+h)$ e $f(a)$.
2. Subtrair toda a expressão $f(a)$, cuidando dos sinais.
3. Simplificar o numerador até poder eliminar o fator $h$.
4. Calcular o limite da expressão resultante.

Comecemos com $f(x)=c$, uma função constante. Para qualquer $a$,

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c-c}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }0=0.$$

Não há variação em $f$ quando $x$ varia. Para uma função afim $f(x)=mx+b$, o cálculo é igualmente direto:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{m(a+h)+b-(ma+b)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{mh}{h}=m.\end{array}$$

O resultado não depende de $a$: a reta tem a mesma inclinação em todos os seus pontos. Note também o papel dos parênteses em $-(ma+b)$. Subtrair $f(a)$ significa trocar o sinal de cada termo dessa expressão.

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Polinômios: fazer aparecer o fator $h$

Em uma função quadrática, a substituição $a+h$ cria termos que não existiam no caso afim. Considere

$$f(x)=x^2-3x+2.$$

Em vez de escolher imediatamente um ponto, calculemos a derivada em um $a$ qualquer. Assim obteremos, de uma vez, um resultado aplicável a todos os pontos:

$$\begin{array}{rl}f(a+h)-f(a)& =((a+h{)}^2-3(a+h)+2)-(a^2-3a+2)\\ & =a^2+2ah+h^2-3a-3h+2-a^2+3a-2\\ & =h(2a+h-3).\end{array}$$

Portanto,

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(2a+h-3)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2a+h-3)=2a-3.$$

A igualdade após o cancelamento vale para $h\ne 0$, exatamente os valores usados para aproximar zero no limite. Não substituímos $h=0$ no quociente original, que seria indefinido.

Como $a$ podia ser qualquer número real, podemos chamar esse ponto de $x$ e escrever a função derivada $f^{\prime }(x)=2x-3$. Essa fórmula fornece derivadas em pontos específicos: $f^{\prime }(2)=1$ e $f^{\prime }(-1)=-5$.

Assista ao primeiro cálculo em Cálculo de Derivadas Pela Definição (Exercícios), do Prof. Dr. Diego Veras. Ele usa outro polinômio quadrático; compare a ordem das operações com a que acabamos de seguir.

O padrão continua para $f(x)=x^3$. Nesse caso,

$$(a+h{)}^3-a^3=3a^{2}h+3a{h}^2+h^3=h(3a^2+3ah+h^2).$$

Logo, diretamente pela definição,

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }(3a^2+3ah+h^2)=3a^2.$$

Nos exemplos polinomiais, subtrair $f(a)$ elimina os termos que não contêm $h$. O fator $h$ restante permite simplificar o quociente. Esse é um padrão útil de observar, não uma licença para cancelar termos antes de mostrar que o fator existe.

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Raízes e frações: a mesma definição, outra álgebra

Nem sempre expandir resolve o problema. Para $f(x)=\sqrt{x}$, em um ponto $a>0$, obtemos

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}.$$

Aqui, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado $\sqrt{a+h}+\sqrt{a}$. A diferença de quadrados faz surgir o fator necessário:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(a)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}.\end{array}$$

Por exemplo, $f^{\prime }(4)=1/4$. A condição $a>0$ importa: garante que há valores do domínio dos dois lados de $a$ suficientemente próximos dele e que o denominador final não é zero. Em $a=0$, só podemos aproximar pelo lado positivo dentro do domínio; além disso, o quociente é $1/\sqrt{h}$ e não tende a um número finito. Portanto, a fórmula obtida para $a>0$ não se aplica em zero.

Agora considere $g(x)=1/x$, com $a\ne 0$. A ferramenta algébrica adequada é um denominador comum:

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(a)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a-(a+h)}{ha(a+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-h}{ha(a+h)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{a(a+h)}=-\frac{1}{a^2}.\end{array}$$

Escolhemos $h\ne 0$ e suficientemente próximo de zero para que $a+h\ne 0$. Assim, todas as divisões feitas antes de tomar o limite são válidas.

Veja os dois procedimentos em vídeo. Eles partem da mesma definição; o que muda é a operação algébrica necessária para simplificar o numerador.

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O que verificar em qualquer cálculo pela definição

Os exemplos variaram, mas a pergunta decisiva foi sempre a mesma: que transformação torna possível calcular o limite do quociente? Para polinômios, expandimos e colocamos $h$ em evidência; para a raiz, racionalizamos; para a fração, reunimos as parcelas sob um denominador comum.

Há também duas verificações que não devem desaparecer atrás da álgebra. Primeiro, o ponto precisa pertencer ao domínio, e $f(a+h)$ deve estar definido para os valores de $h$ considerados. Segundo, depois da simplificação, o limite precisa existir como número real finito para ser a derivada usual em $a$.

A notação ajuda a manter claro o que foi calculado: $f^{\prime }(a)$ é um número associado a um ponto; $f^{\prime }(x)$ é uma função que reúne esses números nos pontos em que a derivada existe. Encontrar uma expressão para $f^{\prime }(x)$ não elimina a necessidade de verificar seu domínio.

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Para guardar

Calcular uma derivada pela definição é calcular um limite de quocientes de diferenças, não substituir $h=0$ em uma fração. Subtraia corretamente $f(a)$, simplifique com $h\ne 0$ e só então tome o limite. Vimos esse processo produzir derivadas de funções constantes, afins, polinomiais, da raiz quadrada e da função recíproca, respeitando os pontos em que cada cálculo é válido.

Na próxima lição, usaremos a definição para investigar uma relação fundamental entre propriedades das funções: por que ter derivada em um ponto garante continuidade nesse ponto.