Diferenciabilidade Implica Continuidade

Olá! Na lição anterior, você calculou derivadas diretamente pelo limite do quociente de diferenças. Agora usaremos essa mesma definição para provar um resultado sobre funções: se $f$ tem derivada em um ponto $c$, então $f$ é contínua em $c$.

A questão central não é apenas reconhecer que uma curva com tangente costuma parecer «sem interrupções». Queremos descobrir exatamente por que a existência de um limite — o da derivada — garante a existência de outro — o da continuidade.

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Dois limites, duas exigências

Vamos considerar $c$ como um ponto interior do domínio de $f$, de modo que possamos nos aproximar dele pelos dois lados. Dizer que $f$ é diferenciável em $c$ significa que o limite

$$f^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

existe e é um número real finito. O numerador mede a variação da função; o denominador, a variação da entrada. A derivada é o limite da razão entre essas duas variações.

Já a continuidade em $c$ exige que os valores da função se aproximem do valor que ela efetivamente assume no ponto:

$$\underset{h\to 0}{\lim }f(c+h)=f(c).$$

Como $f(c)$ é constante em relação a $h$, podemos escrever a mesma exigência em termos da variação da função:

$$\underset{h\to 0}{\lim }(f(c+h)-f(c))=0.$$

Essa segunda forma revela o caminho da prova. A hipótese nos dá informação sobre a razão entre as variações; precisamos concluir algo sobre a variação de $f$, sem o denominador.

No vídeo Proof: Differentiability implies continuity, da Khan Academy, observe primeiro a condição de continuidade e depois a demonstração. A explicação é em inglês, mas a passagem algébrica que interessa é a mesma que desenvolveremos abaixo.

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A demonstração: recuperar a variação da função

Suponha que $f$ seja diferenciável em $c$ e chame sua derivada de $L$. Assim,

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=L,L\in \mathbb{R}.$$

Para todo $h\ne 0$ suficientemente próximo de zero, vale a identidade

$$f(c+h)-f(c)=h\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

Ela é simples, mas faz todo o trabalho: expressa a variação de $f$ como o produto do incremento $h$ pelo quociente que aparece na definição de derivada. Como os dois fatores têm limites finitos, podemos aplicar a propriedade do limite de um produto:

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\lim }(f(c+h)-f(c))& =\underset{h\to 0}{\lim }\left(h\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\right)\\ & =\left(\underset{h\to 0}{\lim }h\right)\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\right)\\ & =0\cdot L\\ & =0.\end{array}$$

Era exatamente o que faltava demonstrar. Somando $f(c)$, que não depende de $h$, obtemos

$$\underset{h\to 0}{\lim }f(c+h)=\underset{h\to 0}{\lim }(f(c+h)-f(c))+f(c)=f(c).$$

Portanto, $f$ é contínua em $c$.

Note dois cuidados lógicos. Primeiro, a identidade usada na prova vale para $h\ne 0$; não dividimos por zero. Isso basta, pois um limite examina valores próximos de zero, não o valor da expressão em zero. Segundo, não presumimos de início que $f(c+h)$ tinha limite. Nós o obtivemos a partir da existência da derivada e das propriedades dos limites.

A finitude de $L$ também não é um detalhe decorativo. O passo $0\cdot L=0$ é válido porque $L$ é um número real. Uma razão que cresça sem limite quando $h$ se aproxima de zero não satisfaz a hipótese de diferenciabilidade usada aqui.

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Por que a prova funciona: uma leitura mais precisa

Há outra maneira de enxergar o argumento. Se os quocientes

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

se aproximam de um número real $L$, eles permanecem limitados quando $h$ está suficientemente perto de zero. Em particular, existe algum número $M>0$ tal que, para todo $h\ne 0$ suficientemente pequeno,

$$\left|\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\right|\le M.$$

Multiplicando por $|h|$, chegamos a

$$|f(c+h)-f(c)|\le M|h|.$$

O lado direito se aproxima de zero com $h$. Logo, a distância entre $f(c+h)$ e $f(c)$ também precisa se aproximar de zero.

Essa leitura destaca a força da hipótese. Ter derivada finita controla a variação da função perto do ponto: ela não pode manter uma diferença de altura apreciável enquanto o incremento horizontal se torna arbitrariamente pequeno. A prova por produto de limites é mais curta; a desigualdade explicita o motivo pelo qual ela funciona.

Se quisermos expressar o último passo na linguagem formal da continuidade, dado qualquer $\epsilon >0$, basta tomar $|h|$ suficientemente pequeno para que $M|h|<\epsilon$. Então $|f(c+h)-f(c)|<\epsilon$. Ambas as demonstrações chegam à mesma conclusão, uma pelas leis dos limites e a outra por uma estimativa.

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O que o teorema permite concluir — e o que não permite

Da afirmação «diferenciável implica contínua» decorre uma ferramenta útil: se $f$ é descontínua em $c$, então $f$ não é diferenciável em $c$. É a contrapositiva do teorema. Muitas vezes, verificar uma descontinuidade é mais rápido do que tentar calcular um quociente de diferenças.

A imagem ilustra situações em que o gráfico não é contínuo no ponto assinalado.

A conclusão não vale no sentido inverso. Considere $f(x)=|x|$ em $c=0$. A função é contínua, pois $|h|$ se aproxima de $0=f(0)$ quando $h\to 0$. Entretanto, seu quociente de diferenças é

$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}=\{\begin{array}{ll}-1,& h<0,\\ 1,& h>0.\end{array}$$

As aproximações pela esquerda e pela direita dão resultados diferentes. Por isso, $f^{\prime }(0)$ não existe, apesar da continuidade. O exemplo separa claramente as exigências: para ser contínua, a variação da função deve tender a zero; para ser diferenciável, a razão dessa variação pelo incremento deve tender a um único número real.

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Para guardar

A prova cabe em uma identidade, válida para $h\ne 0$:

$$f(c+h)-f(c)=h\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

Se a derivada em $c$ existe e é finita, o quociente à direita tende a $f^{\prime }(c)$, enquanto $h$ tende a zero. A variação de $f$ tende, portanto, a zero: diferenciabilidade em $c$ implica continuidade em $c$.

A recíproca é falsa, como mostra $|x|$ em zero. Na próxima lição, essa distinção guiará a identificação, por fórmulas e gráficos, de pontos onde uma função deixa de ser diferenciável.