Identificação de Pontos de Não Diferenciabilidade

Olá! Na lição anterior, você demonstrou que diferenciabilidade implica continuidade e viu um exemplo da recíproca falsa: $f(x)=|x|$ é contínua em zero, mas não tem derivada ali. Agora vamos transformar essas ideias em um método para identificar pontos de não diferenciabilidade, tanto em gráficos quanto em fórmulas.

A pergunta decisiva será sempre a mesma: quando nos aproximamos de um ponto, as inclinações das secantes convergem para um único número real finito? O gráfico ajuda a localizar os pontos suspeitos; o quociente de diferenças permite explicar o que acontece neles.

---

Ler o gráfico sem perder a definição

Em um ponto interior $c$ do domínio, procuramos o limite

$$f^{\prime }(c)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

Há três sinais gráficos frequentes de que esse limite pode falhar: uma interrupção no gráfico, uma ponta onde as inclinações dos dois lados não concordam, ou uma tangente vertical. A imagem reúne essas situações.

O sinal visual é um começo, não a justificativa completa. Uma descontinuidade já resolve a questão pelo teorema da lição anterior: se $f$ não é contínua em $c$, não pode ser diferenciável em $c$. Em uma ponta, a função pode ser contínua, mas as inclinações vistas da esquerda e da direita não chegam ao mesmo valor. Em uma tangente vertical, a inclinação não se aproxima de um número finito. Uma tangente horizontal, em contraste, não causa problema: sua inclinação é zero.

Assista aos trechos selecionados de Differentiability at a point: graphical, da Khan Academy. A narração é em inglês; acompanhe sobretudo o movimento das inclinações no desenho.

Um canto e uma cúspide podem parecer semelhantes em um desenho pequeno, embora tenham comportamentos de inclinação diferentes. A leitura a seguir permite compará-los e rever os demais sinais gráficos.

---

Confirmar os pontos suspeitos pela fórmula

Quando a função é dada por uma expressão, o primeiro cuidado é verificar se ela está definida no ponto. Depois, verifique a continuidade. Se ela passar por esses dois testes, compare os limites laterais do mesmo quociente de diferenças:

$$f_{-}^{\prime }(c)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h},f_{+}^{\prime }(c)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

Para existir $f^{\prime }(c)$, esses limites precisam existir, ser finitos e ser iguais. Isso explica precisamente o canto de $|x|$ em zero, já examinado na lição anterior: as inclinações laterais são $-1$ e $1$.

A comparação é especialmente útil em funções definidas por partes. Considere

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1,\\ 3x-2,& x>1.\end{array}$$

As duas expressões se aproximam de $1=g(1)$ quando $x$ se aproxima de $1$, portanto $g$ é contínua nesse ponto. Mas, se $h<0$, usamos o primeiro ramo:

$$\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{(1+h{)}^2-1}{h}=2+h⟶2.$$

Se $h>0$, usamos o segundo:

$$\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\frac{3(1+h)-2-1}{h}=3⟶3.$$

Os ramos se encontram em altura, mas não em inclinação. Assim, $g$ não é diferenciável em $1$. Note que uma mudança de fórmula, por si só, não bastaria para concluir isso: se o ramo da direita fosse $2x-1$, os limites laterais do quociente seriam ambos $2$, e a derivada existiria no ponto de junção.

Essa distinção orienta a inspeção de qualquer fórmula por partes: primeiro pergunte se os valores se encontram; só então pergunte se as inclinações se encontram.

---

Inclinações que crescem sem limite

A falta de derivada nem sempre produz um canto. Tome

$$f(x)=\sqrt[3]{x},f(0)=0.$$

Seu gráfico é contínuo em zero e ali apresenta uma tangente vertical. O quociente de diferenças mostra por quê:

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}=\frac{1}{(\sqrt[3]{h}{)}^2}.$$

Quando $h$ se aproxima de zero por qualquer lado, esse quociente cresce sem limite. Dizemos que as inclinações tendem a $+\infty$, não que $f^{\prime }(0)=+\infty$: a derivada, na definição que usamos, precisa ser um número real finito.

Uma cúspide também pode ter inclinações de magnitude cada vez maior, mas com sentidos opostos nos dois lados. Por exemplo, para $q(x)=|x{|}^{2/3}$, em zero,

$$\frac{q(h)-q(0)}{h}=\frac{|h{|}^{2/3}}{h}.$$

Pela direita, o quociente tende a $+\infty$; pela esquerda, a $-\infty$. Tanto a tangente vertical de $\sqrt[3]{x}$ quanto a cúspide de $|x{|}^{2/3}$ impedem uma derivada finita, embora o comportamento lateral não seja o mesmo.

Há ainda um motivo que um desenho pode esconder: as inclinações podem oscilar em vez de convergir ou crescer sem limite. Defina

$$r(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin (1/x),& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

Como $|r(x)|\le |x|$, a função é contínua em zero. No entanto,

$$\frac{r(h)-r(0)}{h}=\sin (1/h),$$

que assume valores próximos de $1$ e de $-1$ arbitrariamente perto de $h=0$. Não há limite para o quociente. Esse exemplo mostra por que descontinuidade, canto, cúspide e tangente vertical são padrões úteis de reconhecimento, mas não substituem a definição.

---

Um procedimento para gráficos e fórmulas

Ao analisar uma função, comece pelos candidatos: pontos de junção entre fórmulas, valores absolutos, raízes que possam gerar inclinações muito grandes e lugares onde o gráfico parece interrompido ou pontiagudo. Em seguida, faça as verificações nesta ordem:

1. Domínio e continuidade. Se $f(c)$ não está definido, não há derivada em $c$. Se $f$ está definida, mas é descontínua em $c$, o teorema anterior já garante a não diferenciabilidade.
2. Inclinações laterais. Se a função é contínua, compare os quocientes de diferenças pela esquerda e pela direita. Limites finitos distintos indicam um canto; inclinações sem limite finito podem indicar uma cúspide ou tangente vertical.
3. Existência de um limite único. Mesmo sem um desses desenhos reconhecíveis, confirme que o quociente converge. Uma aparência suave na escala de um gráfico não prova diferenciabilidade.

Estamos tratando aqui de pontos interiores do domínio, onde é possível aproximar-se pelos dois lados. Em uma extremidade do domínio, pode-se estudar uma derivada lateral, mas ela não é o limite bilateral usado nesta lição. E, se uma fórmula como $1/x$ não define função em $x=0$, convém dizer precisamente que a função não está definida ali, em vez de tratar zero como um ponto do seu gráfico com uma tangente problemática.

---

Para guardar

Identificar a não diferenciabilidade é investigar por que o quociente de diferenças não chega a um único valor real finito. A descontinuidade exclui imediatamente a derivada; um canto produz inclinações laterais finitas e diferentes; cúspides e tangentes verticais envolvem inclinações sem limite finito; oscilações também podem impedir a convergência.

Com esse diagnóstico em mãos, você já sabe onde uma derivada exige atenção especial. No próximo módulo, começaremos a calcular derivadas com regras mais eficientes, sem esquecer que uma fórmula de derivação aplicada em cada ramo não decide, sozinha, o que ocorre em um ponto de junção.