Résolution de systèmes linéaires avec l'inverse de la matrice

Bonjour ! Dans la leçon précédente, vous avez maîtrisé la méthode de Gauss-Jordan pour calculer l'inverse d'une matrice 3x3, une technique algorithmique puissante. Aujourd'hui, nous allons mettre cette compétence à profit pour atteindre l'un des objectifs centraux de ce cours : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

L'objectif de cette leçon est de vous apprendre à utiliser l'inverse d'une matrice pour trouver la solution d'un système d'équations de la forme $AX=B$. Cette méthode est non seulement élégante d'un point de vue mathématique, mais elle est aussi extrêmement efficace, surtout si vous devez résoudre plusieurs systèmes qui partagent la même matrice de coefficients $A$.

1. La Logique de la Méthode de l'Inverse

Rappelez-vous en algèbre classique : pour résoudre une équation simple comme $5x=10$, vous multipliez les deux côtés par l'inverse de 5, c'est-à-dire $5^{-1}$ ou $\frac{1}{5}$.

$$5x=10⟹(\frac{1}{5})\cdot 5x=(\frac{1}{5})\cdot 10⟹1\cdot x=2⟹x=2$$

L'idée pour les systèmes d'équations est exactement la même, mais avec des matrices. Un système d'équations peut s'écrire sous la forme compacte :

$$AX=B$$

Où :

• $A$ est la matrice des coefficients du système.
• $X$ est le vecteur colonne des inconnues (par exemple, $x,y,z$).
• $B$ est le vecteur colonne des constantes (les termes à droite du signe égal).

Pour isoler $X$, nous allons multiplier les deux côtés de l'équation par l'inverse de la matrice $A$, notée $A^{-1}$. Cependant, il y a une subtilité cruciale : la multiplication matricielle n'est pas commutative ($AB\ne BA$). Il faut donc multiplier par la gauche des deux côtés pour que cela fonctionne.

$$\begin{array}{rlrl}AX& =B& & \\ A^{-1}(AX)& =A^{-1}B& & \text{Multiplication aˋ gauche par }{A}^{-1}\\ (A^{-1}A)X& =A^{-1}B& & \text{Associativiteˊ de la multiplication}\\ IX& =A^{-1}B& & \text{Car }{A}^{-1}A=I\text{ (matrice identiteˊ)}\\ X& =A^{-1}B& & \text{Car }IX=X\end{array}$$

La solution du système, le vecteur $X$, est donc simplement le produit de l'inverse de la matrice des coefficients, $A^{-1}$, et du vecteur des constantes, $B$.

La ressource suivante formalise cette approche de manière très claire.

2. Application sur un exemple 2x2

Mettons cette méthode en pratique avec un système simple. Soit le système suivant :

$$\{\begin{array}{l}3x+8y=5\\ 4x+11y=7\end{array}$$

Étape 1 : Mettre sous forme matricielle $AX=B$

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 8\\ 4& 11\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$$

Ce qui nous donne l'équation $\left(\begin{array}{cc}3& 8\\ 4& 11\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$.

Étape 2 : Calculer l'inverse $A^{-1}$
Pour une matrice 2x2, nous utilisons la formule que vous connaissez : $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
Le déterminant est $\det (A)=(3)(11)-(8)(4)=33-32=1$.
L'inverse est donc :

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}11& -8\\ -4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& -8\\ -4& 3\end{array}\right)$$

Étape 3 : Calculer la solution $X=A^{-1}B$
Il ne nous reste plus qu'à effectuer une multiplication matricielle.

$$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& -8\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(11)(5)+(-8)(7)\\ (-4)(5)+(3)(7)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}55-56\\ -20+21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$

La solution est donc $x=-1$ et $y=1$. L'exemple $\text{PageIndex}7$ dans la ressource que vous venez de lire détaille exactement ce même calcul.

3. Application sur un exemple 3x3

Passons maintenant à un cas plus complexe, en lien direct avec notre leçon précédente. Considérons le système suivant :

$$\{\begin{array}{l}x-x_3=2\\ -2x_1+3x_2+4x_3=5\\ x_2+x_3=-1\end{array}$$

Note : pour correspondre aux notations de l'exercice, nous utilisons $x_1,x_2,x_3$.

Étape 1 : Forme matricielle $AX=B$

$$A=M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -2& 3& 4\\ 0& 1& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$$

Étape 2 : Trouver l'inverse $A^{-1}$
Le calcul de l'inverse de cette matrice $M$ est un exercice en soi. Heureusement, c'est un problème que nous savons déjà résoudre ! La ressource ci-dessous détaille à la fois le calcul de l'inverse et son utilisation pour résoudre ce système.

Étape 3 : Calculer la solution $X=A^{-1}B$
Armés de l'inverse, nous pouvons maintenant calculer la solution :

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 3\\ 2& 1& -2\\ -2& -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$$

Effectuons la multiplication :

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-1)(2)+(-1)(5)+(3)(-1)\\ (2)(2)+(1)(5)+(-2)(-1)\\ (-2)(2)+(-1)(5)+(3)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2-5-3\\ 4+5+2\\ -4-5-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -12\end{array}\right)$$

La solution unique de notre système est $x_1=-10$, $x_2=11$, et $x_3=-12$.

Cette vidéo en français récapitule la démarche pour un système 3x3, de la mise en forme matricielle jusqu'à la résolution finale.

Conclusion

Vous venez de voir l'aboutissement de plusieurs leçons : nous avons assemblé la traduction d'un système en matrices, le calcul de l'inverse et la multiplication matricielle pour créer une méthode de résolution complète et structurée.

Les points clés à retenir sont :

• Un système d'équations linéaires peut être écrit sous la forme compacte $AX=B$.
• Si la matrice des coefficients $A$ est carrée et inversible ($\det (A)\ne 0$), alors le système admet une solution unique donnée par $X=A^{-1}B$.
• La méthode consiste en trois étapes : formaliser le système ($AX=B$), calculer l'inverse ($A^{-1}$), et résoudre par multiplication ($X=A^{-1}B$).

Cette méthode est particulièrement puissante. Cependant, le calcul de l'inverse peut être long. Dans la prochaine leçon, nous explorerons la méthode de Cramer, une alternative qui utilise les déterminants pour trouver la valeur d'une seule inconnue sans avoir à calculer toute la matrice inverse.