Inversion de matrice 3x3 par Gauss-Jordan

Bonjour ! Dans la leçon précédente, vous avez appris à calculer l'inverse d'une matrice 2x2 à l'aide d'une formule directe. C'était une excellente introduction, mais cette formule pratique ne se généralise malheureusement pas aux matrices plus grandes.

Aujourd'hui, nous allons aborder une méthode beaucoup plus puissante et universelle : la méthode de Gauss-Jordan. Cet objectif est de vous apprendre à calculer l'inverse d'une matrice 3x3. Cette technique est purement algorithmique, ce qui devrait bien correspondre à l'approche structurée que l'on retrouve en génie civil. Elle s'appuie sur les opérations élémentaires sur les lignes que vous avez déjà utilisées pour la résolution de systèmes par la méthode du pivot de Gauss.

1. Le principe de la méthode de Gauss-Jordan

L'idée centrale de la méthode de Gauss-Jordan pour l'inversion est élégante et systématique. Elle consiste à effectuer une transformation en deux temps.

1. On commence par créer une matrice augmentée en plaçant la matrice A que l'on souhaite inverser à gauche, et la matrice identité I de même dimension à droite, séparées par une barre verticale. On obtient ainsi la forme $[A|I]$.

2. Ensuite, on applique une série d'opérations élémentaires sur les lignes à l'ensemble de cette matrice augmentée. L'objectif est de transformer la partie gauche (A) en la matrice identité (I).

La magie de cette méthode est que les mêmes opérations, appliquées en parallèle à la partie droite, transformeront la matrice identité I en l'inverse de A, c'est-à-dire A⁻¹.

La vidéo suivante introduit parfaitement cette idée et la logique de la présentation matricielle.

Les opérations élémentaires autorisées sur les lignes, que vous connaissez déjà, sont les seules dont nous aurons besoin. Pour rappel, il s'agit de :

• Échanger deux lignes ($L_i\leftrightarrow L_j$).
• Multiplier une ligne par un nombre non nul ($L_i\leftarrow k\cdot L_i$).
• Ajouter un multiple d'une autre ligne à une ligne ($L_i\leftarrow L_i+k\cdot L_j$).

2. Un exemple complet, pas à pas

Passons maintenant à la pratique. Nous allons calculer l'inverse de la matrice A suivante :

L'ensemble du processus de calcul est illustré dans l'image ci-dessous. Nous allons décortiquer chaque étape ensemble.

Pour suivre le détail de chaque calcul, nous allons nous appuyer sur un exercice corrigé.

Analysons ce processus en le décomposant.

Étape 1 : Phase d'échelonnement (créer des zéros sous la diagonale)

1. On part de $[A|I]$. $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 1& 0\\ 2& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
2. On crée les zéros dans la première colonne en utilisant la ligne 1 comme pivot.
   • $L_2\leftarrow L_2-L_1$
   • $L_3\leftarrow L_3-2L_1$
   $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& -1& 1& 0\\ 0& -1& -3& -2& 0& 1\end{array}\right)$$
3. On crée le zéro dans la deuxième colonne en utilisant la ligne 2 comme pivot.
   • $L_3\leftarrow L_3+L_2$
   $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& -4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

La matrice de gauche est maintenant triangulaire supérieure.

Étape 2 : Phase de réduction (créer des zéros au-dessus de la diagonale et normaliser)

4. On normalise la ligne 3 pour obtenir un 1 sur la diagonale.
   • $L_3\leftarrow -\frac{1}{4}{L}_3$
   $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 3/4& -1/4& -1/4\end{array}\right)$$
5. On "remonte" pour créer les zéros au-dessus de la diagonale en utilisant $L_3$ comme pivot.
   • $L_1\leftarrow L_1-2L_3$
   • $L_2\leftarrow L_2+L_3$
   $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& -1/2& 1/2& 1/2\\ 0& 1& 0& -1/4& 3/4& -1/4\\ 0& 0& 1& 3/4& -1/4& -1/4\end{array}\right)$$
6. Dernière étape : on crée le dernier zéro en utilisant $L_2$ comme pivot.
   • $L_1\leftarrow L_1-L_2$
   $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -1/4& -1/4& 3/4\\ 0& 1& 0& -1/4& 3/4& -1/4\\ 0& 0& 1& 3/4& -1/4& -1/4\end{array}\right)$$

Nous avons obtenu la matrice identité à gauche. La matrice de droite est donc l'inverse de A.

La vidéo de Khan Academy ci-dessous montre un autre exemple complet qui peut vous aider à solidifier votre compréhension de l'enchaînement des opérations.

3. À vous de jouer !

Maintenant, essayez d'appliquer cette méthode pour trouver l'inverse de la matrice suivante :

Astuce : Le premier élément $B_{11}$ est un 0. Vous ne pouvez pas l'utiliser comme pivot. Commencez par une opération simple pour y remédier, par exemple en échangeant deux lignes.

Prenez quelques minutes pour effectuer les calculs. La solution se trouve ci-dessous.

...

Conclusion

Félicitations ! Vous avez appris à utiliser la méthode de Gauss-Jordan, un outil fondamental et très fiable pour calculer l'inverse de n'importe quelle matrice carrée inversible.

Les points clés de cette leçon sont :

• La méthode de Gauss-Jordan consiste à transformer la matrice augmentée $[A|I]$ en $[I|A^{-1}]$.
• Seules les opérations élémentaires sur les lignes sont utilisées pour effectuer cette transformation.
• Le processus se déroule en deux phases principales : l'échelonnement (création de zéros sous la diagonale) et la réduction (création de zéros au-dessus de la diagonale et normalisation).

Maintenant que vous savez comment calculer A⁻¹, à quoi cela va-t-il nous servir ? La prochaine leçon vous apportera la réponse en vous montrant comment utiliser l'inverse pour résoudre un système d'équations AX = B de manière très directe et élégante. Vous verrez enfin la connexion entre tous ces outils.