L'inverse d'une matrice 2x2

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons vu comment la méthode de Gauss-Jordan pouvait transformer la matrice d'un système en matrice identité, nous donnant directement la solution. Cette idée de transformer une matrice A en I est au cœur du concept de la matrice inverse, que nous allons explorer aujourd'hui.

L'objectif de cette leçon est d'apprendre à calculer l'inverse d'une matrice 2x2. Heureusement, pour cette taille de matrice, il existe une formule directe et rapide. Maîtriser ce calcul est une étape fondamentale, car l'inverse d'une matrice nous offrira plus tard une nouvelle méthode élégante pour résoudre les systèmes d'équations de la forme AX = B.

1. Qu'est-ce qu'une matrice inverse ?

En arithmétique, l'inverse d'un nombre non nul x est 1/x (ou x⁻¹), car leur produit donne 1, l'élément neutre de la multiplication. Le concept est très similaire pour les matrices.

L'inverse d'une matrice carrée A est une autre matrice, notée A⁻¹, telle que leur produit donne la matrice identité I.

La matrice identité I est l'équivalent du "1" dans le monde des matrices. Tout comme le nombre 0 n'a pas d'inverse pour la multiplication, toutes les matrices carrées n'ont pas d'inverse.

Pour qu'une matrice A soit inversible, une condition essentielle doit être remplie : son déterminant doit être différent de zéro. Vous avez déjà appris à calculer le déterminant d'une matrice 2x2 ; cette compétence est maintenant cruciale.

En résumé :

• Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.
• Une matrice carrée A est inversible si et seulement si $\det (A)\ne 0$.

2. La formule directe pour l'inverse d'une matrice 2x2

Pour une matrice 2x2, le calcul de l'inverse est très direct. Si nous avons une matrice A :

Son inverse A⁻¹ est donné par la formule suivante, à condition que $\det (A)=ad-bc\ne 0$ :

Analysons cette formule :

1. Calculer le facteur $\frac{1}{\det (A)}$. C'est simplement un nombre.
2. Modifier la matrice A :
   • On échange les éléments de la diagonale principale (a et d).
   • On prend l'opposé (on change le signe) des éléments de l'autre diagonale (b et c).
3. Multiplier le nombre calculé à l'étape 1 par la nouvelle matrice obtenue à l'étape 2.

L'image suivante résume parfaitement cette formule.

La vidéo ci-dessous vous montre une application concrète de cette formule.

3. Un exemple pas à pas

Mettons cette formule en pratique avec un autre exemple. Calculons l'inverse de la matrice :

Le document suivant détaille la solution.

Comme vous l'avez lu, les étapes sont :

1. Calcul du déterminant :
   $\det (A)=(4\times 6)-(7\times 2)=24-14=10$.
   Puisque $\det (A)=10\ne 0$, la matrice A est bien inversible.

2. Application de la formule :

   $$A^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$$

3. Calcul final :
   On multiplie chaque élément de la matrice par $\frac{1}{10}$ :

   $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6/10& -7/10\\ -2/10& 4/10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.6& -0.7\\ -0.2& 0.4\end{array}\right)$$

Et voilà ! Nous avons trouvé l'inverse de A. Pour vérifier, vous pourriez calculer $A\cdot A^{-1}$ et vous assurer que le résultat est bien la matrice identité $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

4. À vous de jouer !

Maintenant, calculez l'inverse de la matrice suivante :

Prenez le temps d'appliquer les trois étapes méthodiquement.

...

Solution

1. Calcul du déterminant :
   $\det (B)=(5\times 3)-(2\times -1)=15-(-2)=15+2=17$.
   Le déterminant est 17, qui est différent de 0, donc la matrice est inversible.

2. Application de la formule :
   On échange 5 et 3, et on change le signe de 2 et -1.

   $$B^{-1}=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 5\end{array}\right)$$

3. Calcul final :
   On peut laisser le résultat sous cette forme factorisée, ou distribuer le $\frac{1}{17}$ à l'intérieur de la matrice.

   $$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3/17& -2/17\\ 1/17& 5/17\end{array}\right)$$

Conclusion

Félicitations, vous savez maintenant calculer l'inverse d'une matrice 2x2, une compétence très utile et rapide à exécuter.

Les points clés à retenir sont :

• Une matrice A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
• La formule de l'inverse d'une matrice 2x2 est ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
• Le processus se résume à trois étapes : calculer le déterminant, réarranger la matrice (permuter la diagonale principale, inverser les signes de l'autre), et multiplier par l'inverse du déterminant.

Dans la prochaine leçon, nous passerons à un défi plus complexe : calculer l'inverse d'une matrice 3x3. Malheureusement, il n'existe pas de formule aussi simple. Nous devrons utiliser une méthode plus générale, la méthode de Gauss-Jordan, que nous avons déjà brièvement évoquée. Vous verrez alors comment les opérations sur les lignes que vous avez apprises peuvent être exploitées pour cette nouvelle tâche.