Méthode de Gauss et nombre de solutions d'un système

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Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons fait le plus gros du travail en apprenant à transformer un système d'équations en une matrice augmentée, puis à la simplifier en une forme échelonnée à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes. Vous avez vu comment faire apparaître méthodiquement des zéros sous la diagonale pour obtenir une structure "en escalier".

Aujourd'hui, nous allons récolter les fruits de ce travail. L'objectif est de finaliser la méthode du pivot de Gauss en utilisant la forme échelonnée pour trouver la ou les solutions d'un système. Nous verrons comment, par une simple "remontée", on peut déterminer les valeurs des inconnues. Plus important encore, nous apprendrons à interpréter la forme finale de la matrice pour déterminer si le système admet une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions. C'est une compétence essentielle, car tous les systèmes que vous rencontrerez en génie civil n'auront pas forcément une belle solution unique.

1. La remontée de substitution : trouver la solution unique

Une fois que la matrice augmentée est sous forme échelonnée, le système d'équations correspondant est triangulaire, ce qui le rend très facile à résoudre. La méthode consiste à partir de la dernière équation (la plus simple) et à "remonter" vers la première en substituant les valeurs des variables que l'on trouve au fur et à mesure.

La vidéo suivante vous guide à travers un exemple complet, de la mise en place du système jusqu'à la solution finale par remontée.

Méthode de pivot de Gauss

Cette vidéo, intitulée "Méthode de pivot de Gauss", montre la résolution d'un système 3x3 de A à Z. Elle illustre très clairement les deux grandes phases : l'échelonnement (que nous avons vu la dernière fois) et la remontée de substitution (notre focus aujourd'hui).

Regardez d'abord rapidement comment l'auteur élimine les variables pour obtenir un système avec deux, puis une seule inconnue. C'est une révision de la leçon précédente. Remarquez qu'il travaille directement avec les équations, mais le principe est identique à nos opérations sur les lignes de la matrice augmentée. Concentrez-vous ensuite sur la partie cruciale : la résolution par remontée. Observez comment, une fois que Z=2 est trouvé, cette valeur est injectée dans l'équation du dessus pour trouver Y, puis les valeurs de Y et Z sont injectées dans la première équation pour trouver X.

Ce processus en deux temps est le cœur de la méthode de Gauss :

Phase d'élimination (descente) : On crée des zéros sous la diagonale pour obtenir la forme échelonnée.
Phase de substitution (remontée) : On résout le système triangulaire en partant de la dernière ligne.

2. Interpréter la forme échelonnée : les trois cas possibles

La beauté de la méthode de Gauss est que la forme finale de la matrice échelonnée nous dit tout sur la nature des solutions avant même de commencer la remontée. Il y a trois cas à distinguer.

Cas 1 : Pas de solution (système incompatible)

Vous avez déjà rencontré ce cas dans l'exercice de la leçon précédente. Après échelonnement, si vous obtenez une ligne de la forme [0 0 ... 0 | c] où c est un nombre non nul, alors le système n'a pas de solution.

Pourquoi ? Car cette ligne se traduit par l'équation $0 x + 0 y + 0 z = c$ , soit $0 = c$ , ce qui est une contradiction mathématique.

Le document suivant vous montre un exemple concret.

[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths

Ce document contient une série d'exercices résolus. Le premier est un exemple parfait de système incompatible.

Allez à la section "Solutions des exercices" et lisez la résolution de l'Exercice 1. Observez comment, après les opérations sur les lignes, l'auteur obtient la matrice G2. La dernière ligne (0 0 0 | -7) correspond à l'équation 0 = -7. C'est le signal clair que le système est impossible à résoudre.

Cas 2 : Une infinité de solutions (système dépendant)

Si, après échelonnement, vous obtenez une ou plusieurs lignes de zéros [0 0 ... 0 | 0], cela signifie que certaines de vos équations de départ étaient redondantes. Le système a une infinité de solutions.

L'équation correspondante est $0 = 0$ , ce qui est toujours vrai mais ne nous aide pas à trouver une valeur. Dans ce cas, nous aurons moins d'équations utiles que d'inconnues. Les inconnues qui ne correspondent pas à un pivot sont appelées inconnues secondaires (ou variables libres). On peut leur donner n'importe quelle valeur (on les traite comme un paramètre), et on exprime les autres inconnues (dites principales) en fonction de ce paramètre.

[PDF] METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths

L'exercice 3 de ce même document est un excellent exemple de système avec une infinité de solutions.

Toujours dans la section "Solutions des exercices", étudiez la résolution de l'Exercice 3. Remarquez la matrice G3 où apparaît la ligne (0 0 0 | 0). L'auteur identifie x et y comme inconnues principales (car leurs colonnes ont des pivots) et z comme inconnue secondaire. La solution est alors exprimée en fonction de z. Par exemple, y = 2 + 2z. Cela signifie que pour chaque valeur que vous choisissez pour z, vous obtiendrez une solution (x, y, z) valide.

Cas 3 : Une solution unique

C'est le cas que nous avons vu dans la première section. Si la matrice échelonnée est parfaitement triangulaire, avec un nombre de pivots égal au nombre d'inconnues, et sans ligne contradictoire, alors le système admet une solution unique.

En résumé :

Ligne [0 ... 0 | c] avec $c \neq = 0$ $⟹$ Aucune solution.
Ligne [0 ... 0 | 0] $⟹$ Infinité de solutions. (Le nombre de variables libres est nombre d'inconnues - nombre de pivots).
Forme triangulaire stricte $⟹$ Solution unique.

3. Une alternative à la remontée : la méthode de Gauss-Jordan

La phase de remontée par substitution fonctionne très bien. Cependant, il existe une approche plus systématique qui poursuit le travail d'élimination : la méthode de Gauss-Jordan.

L'idée est de ne pas s'arrêter à la forme échelonnée. On continue les opérations sur les lignes pour faire apparaître des zéros au-dessus des pivots également. Le but est de transformer la partie gauche de la matrice augmentée en une matrice identité.

Cette image illustre le processus complet de Gauss-Jordan. Les trois premières étapes créent la forme échelonnée (élimination de Gauss). Les trois étapes suivantes créent des zéros au-dessus des pivots pour atteindre la forme échelonnée réduite, où la solution (x=1, y=2, z=3) est directement lisible dans la dernière colonne.

L'avantage ? Une fois la matrice identité obtenue à gauche, la colonne de droite contient directement la solution, sans aucune substitution à faire ! Cette méthode est un peu plus longue en calculs manuels, mais elle est très algorithmique et constitue la base de la technique que nous utiliserons dans la prochaine leçon pour calculer l'inverse d'une matrice.

4. À vous de jouer !

Résolvez le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Échelonnez la matrice, puis interprétez le résultat et donnez la ou les solutions.

⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 3 2 x - y + z = 6 3 x + 3 z = 9

...

Solution

Matrice augmentée de départ :
$123 1 - 1 0 213 ∣ ∣ ∣ 369$
Échelonnement (phase de descente) :
- $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$
- $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$
La matrice devient :
$100 1 - 3 - 3 2 - 3 - 3 ∣ ∣ ∣ 300$
- $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$
La matrice échelonnée finale est :
$100 1 - 3 0 2 - 3 0 ∣ ∣ ∣ 300$
Interprétation et résolution :
- La dernière ligne est [0 0 0 | 0], ce qui indique une infinité de solutions.
- Les pivots sont dans les colonnes 1 et 2. Les inconnues principales sont donc $x$ et $y$ . L'inconnue secondaire (variable libre) est $z$ .
- Réécrivons le système à partir de la matrice échelonnée : ${x + y + 2 z = 3 - 3 y - 3 z = 0$
- Remontée de substitution :
  - De la 2ème équation : $- 3 y = 3 z ⟹ y = - z$ .
  - Substituons $y$ dans la 1ère équation : $x + (- z) + 2 z = 3 ⟹ x + z = 3 ⟹ x = 3 - z$ .
- La solution générale est donc $(x, y, z) = (3 - z, - z, z)$ pour n'importe quelle valeur réelle de $z$ . On peut l'écrire sous forme paramétrique : $S = ⎩ ⎨ ⎧ 300 + z - 1 - 1 1, z \in R ⎭ ⎬ ⎫$

Conclusion

Félicitations ! Vous maîtrisez maintenant la méthode du pivot de Gauss dans son intégralité. Vous savez non seulement comment résoudre un système, mais aussi comment diagnostiquer le nombre de solutions qu'il possède.

Points clés à retenir :

La résolution se fait par remontée de substitution à partir de la forme échelonnée.
Une ligne de la forme $[0, ..., 0∣ c \neq = 0]$ signifie aucune solution.
Une ligne de la forme $[0, ..., 0∣0]$ signifie une infinité de solutions, nécessitant l'utilisation de variables libres (paramètres).
Une forme triangulaire sans ces cas particuliers signifie une solution unique.
La méthode de Gauss-Jordan est une extension qui trouve la solution directement en transformant la matrice des coefficients en matrice identité.

Dans la prochaine leçon, nous allons mettre à profit cette dernière idée. Nous verrons comment utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour une tâche différente mais très liée : calculer l'inverse d'une matrice 3x3. Cela nous ouvrira la porte à une autre technique de résolution de systèmes d'équations.