Échelonnement de matrice augmentée par opérations élémentaires

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons appris à transformer un système d'équations linéaires en une équation matricielle unique de la forme $AX=B$. Cette étape de formalisation est cruciale car elle nous permet de manipuler l'ensemble du système de manière structurée.

Aujourd'hui, nous allons nous attaquer au cœur du processus de résolution. L'objectif est d'apprendre à simplifier cette représentation matricielle pour la rendre plus facile à résoudre. Pour ce faire, nous allons d'abord combiner les matrices A et B en une seule matrice augmentée. Ensuite, nous lui appliquerons des opérations élémentaires sur les lignes pour la transformer en une forme échelonnée. Cette technique, au cœur de la méthode du pivot de Gauss, est un algorithme puissant et universel que vous utiliserez pour résoudre de nombreux problèmes en génie civil, comme l'analyse des forces dans un treillis ou la résolution de circuits électriques complexes modélisés par des équations.

1. La matrice augmentée : un outil pratique

Pour commencer, nous allons légèrement modifier notre représentation $AX=B$. Au lieu de garder la matrice des coefficients $A$ et le vecteur des constantes $B$ séparés, nous allons les fusionner en une seule matrice, appelée matrice augmentée, notée $[A|B]$. On trace simplement une ligne verticale pour continuer de distinguer les coefficients des constantes.

Par exemple, pour le système que nous avons vu à la fin de la dernière leçon :

La matrice augmentée s'écrit :

Cette notation est simplement un moyen plus compact de garder toutes les informations du système en un seul endroit. La vidéo suivante montre comment on la construit.

2. Les opérations élémentaires sur les lignes

L'idée de la méthode de Gauss est de simplifier cette matrice augmentée en appliquant des "opérations" qui ne changent pas la solution du système d'équations original. Ces opérations, dites élémentaires, sont au nombre de trois et correspondent exactement aux manipulations que l'on ferait pour résoudre un système par substitution ou combinaison.

Pour résumer, les trois opérations autorisées sont :

1. Permutation de deux lignes ($L_i\leftrightarrow L_j$) : Changer l'ordre des équations ne change pas la solution.
2. Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul ($L_i\leftarrow k\cdot L_i$) : Multiplier les deux côtés d'une équation par un même nombre non nul ne change pas la solution.
3. Addition à une ligne d'un multiple d'une autre ligne ($L_i\leftarrow L_i+k\cdot L_j$) : C'est l'opération de combinaison, au cœur de la méthode d'élimination.

Le document suivant montre de manière très parlante comment ces opérations sur les lignes d'une matrice augmentée sont le miroir exact des étapes de résolution d'un système par la méthode d'élimination classique.

3. Le but du jeu : la forme échelonnée

Quel est notre objectif en appliquant ces opérations ? C'est de transformer la matrice augmentée en une forme échelonnée. Une matrice est dite échelonnée si elle a une structure "en escalier", où tous les éléments sous la diagonale principale (ou plus précisément, sous les "pivots") sont nuls.

Le premier élément non nul de chaque ligne est appelé un pivot.

Pourquoi viser cette forme ? Une matrice échelonnée représente un système d'équations triangulaire, qui est extrêmement simple à résoudre. Regardez la matrice de l'image ci-dessus. La dernière ligne correspond à l'équation $0x+0y-2z=...$, ce qui permet de trouver $z$ immédiatement. Une fois $z$ connu, on peut le substituer dans la deuxième équation ($0x+2y-8z=...$) pour trouver $y$, et ainsi de suite. Nous verrons cette étape de "remontée" dans la prochaine leçon. Pour l'instant, concentrons-nous sur l'échelonnement.

L'image suivante montre le processus complet pour un système 3x3. On part de la matrice augmentée initiale et on applique des opérations sur les lignes pour faire apparaître des zéros jusqu'à obtenir une forme triangulaire supérieure.

4. Mettre en pratique : échelonner une matrice 3x3

Voyons comment appliquer cette méthode de manière systématique sur un exemple concret. Le but est de faire apparaître des zéros sous la diagonale, colonne par colonne, de gauche à droite.

Considérons le système :

La matrice augmentée est :

Le document et la vidéo suivants vous guident à travers le processus d'échelonnement pour cet exemple précis. Suivez les étapes attentivement.

Pour une perspective visuelle du même type de processus, la vidéo ci-dessous est une excellente ressource.

5. À vous de jouer !

Maintenant, mettez ces connaissances en pratique. Échelonnez la matrice augmentée associée au système suivant. L'objectif est d'obtenir une matrice avec des zéros sous la diagonale.

...

Solution

1. Matrice augmentée de départ :

   $$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -3& |& -1\\ 3& -1& 2& |& 7\\ 8& 2& -2& |& 9\end{array}\right)$$

2. Créer des zéros dans la colonne 1 :
   Le pivot de la première ligne est 1. Nous l'utilisons pour éliminer le 3 et le 8 en dessous.

   • Opération 1 : $L_2\leftarrow L_2-3L_1$
   • Opération 2 : $L_3\leftarrow L_3-8L_1$

   Calcul pour $L_2$: $[3,-1,2,7]-3\times [1,2,-3,-1]=[3-3,-1-6,2+9,7+3]=[0,-7,11,10]$
   Calcul pour $L_3$: $[8,2,-2,9]-8\times [1,2,-3,-1]=[8-8,2-16,-2+24,9+8]=[0,-14,22,17]$

   La matrice devient :

   $$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -3& |& -1\\ 0& -7& 11& |& 10\\ 0& -14& 22& |& 17\end{array}\right)$$

3. Créer un zéro dans la colonne 2 :
   Le pivot de la deuxième ligne est -7. Nous l'utilisons pour éliminer le -14 en dessous.

   • Opération : $L_3\leftarrow L_3-2L_2$

   Calcul pour $L_3$: $[0,-14,22,17]-2\times [0,-7,11,10]=[0,-14+14,22-22,17-20]=[0,0,0,-3]$

   La matrice échelonnée finale est :

   $$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& -3& |& -1\\ 0& -7& 11& |& 10\\ 0& 0& 0& |& -3\end{array}\right)$$

   (Ce résultat final suggère quelque chose d'intéressant sur les solutions, mais nous y reviendrons !)

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons appris une technique fondamentale : l'application des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer une matrice augmentée en une forme échelonnée. C'est le travail préparatoire essentiel pour résoudre efficacement n'importe quel système d'équations linéaires.

Points clés à retenir :

• La matrice augmentée $[A|B]$ combine les coefficients et les constantes d'un système.
• Il existe trois opérations élémentaires sur les lignes : permuter deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et ajouter un multiple d'une ligne à une autre.
• Ces opérations ne modifient pas la solution du système d'équations.
• L'objectif est d'atteindre la forme échelonnée (triangulaire supérieure), où tous les éléments sous les pivots sont nuls.

Maintenant que nous savons comment simplifier méthodiquement un système, la prochaine étape est de récolter les fruits de ce travail. Dans la leçon suivante, nous utiliserons la matrice échelonnée pour trouver la solution du système par une simple remontée de substitution. Cela nous permettra de conclure la méthode du pivot de Gauss et de déterminer le nombre de solutions d'un système.