Systèmes Linéaires: De l'Équation à la Matrice AX=B

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons vu comment le déterminant nous permet de savoir si une matrice est inversible. C'est un test crucial, car l'inversibilité est la clé de certaines méthodes de résolution de systèmes d'équations, un problème que vous rencontrerez souvent en génie civil, par exemple pour analyser les contraintes dans une structure.

Aujourd'hui, nous allons faire le premier pas concret vers la résolution de ces systèmes en utilisant les matrices. L'objectif est d'apprendre à traduire un système d'équations linéaires, avec ses multiples lignes et variables, en une seule équation matricielle compacte : $AX=B$. Cette compétence est la porte d'entrée vers des méthodes de résolution puissantes et systématiques comme la méthode de Gauss ou celle de l'inverse.

1. La structure d'une équation matricielle

Un système de plusieurs équations linéaires peut sembler complexe, mais il peut être réorganisé de manière très élégante sous la forme d'une unique équation impliquant des matrices. Cette équation est toujours la même :

Pour comprendre cette notation, décomposons ses trois éléments :

• A est la matrice des coefficients. C'est une matrice qui contient tous les coefficients multiplicateurs des variables du système. Chaque ligne de la matrice correspond à une équation, et chaque colonne correspond à une variable.
• X est la matrice colonne des inconnues (aussi appelée vecteur des variables). Elle liste simplement les variables du système ($x,y,z,...$) dans une colonne.
• B est la matrice colonne des constantes (ou vecteur des constantes). Elle contient les termes constants qui se trouvent à droite du signe égal dans chaque équation.

L'intérêt de cette transformation est qu'elle nous permet de manipuler tout le système d'un seul bloc en utilisant les outils de l'algèbre matricielle.

2. Le processus de traduction : un exemple pratique

Comment passer concrètement d'un système d'équations à sa forme matricielle ? Le processus est très méthodique. La vidéo suivante vous guide à travers un exemple simple de système à deux équations et deux inconnues.

Comme vous l'avez vu, le processus se résume à ces étapes :

1. Assurez-vous que les variables sont alignées. Dans chaque équation, les termes en $x$ doivent être sous les termes en $x$, les termes en $y$ sous les termes en $y$, etc. Si une variable manque, on la considère comme ayant un coefficient de 0.
2. Construisez la matrice A en prenant les coefficients de chaque variable, ligne par ligne. La première ligne de A contient les coefficients de la première équation, la deuxième ligne ceux de la deuxième, et ainsi de suite.
3. Construisez la matrice X en listant les variables dans une colonne, dans le même ordre que celui des colonnes de A.
4. Construisez la matrice B en listant les constantes à droite du signe égal, dans l'ordre des équations.

3. Application à un système 3x3

Le principe reste exactement le même pour des systèmes plus grands. La vidéo ci-dessous illustre le processus pour un système 3x3 et souligne un point très important : la gestion des variables manquantes.

4. Formalisation et lecture complémentaire

Maintenant que vous maîtrisez la technique, il est utile de voir comment cela est présenté de manière plus formelle. Le document suivant généralise l'écriture matricielle à n'importe quel système de $m$ équations à $n$ inconnues.

5. À vous de jouer !

Traduisez le système d'équations linéaires suivant sous la forme matricielle $AX=B$. Faites attention aux variables manquantes !

Identifiez les matrices A, X et B.

...

Solution

Pour traduire ce système, nous devons d'abord le réécrire en faisant apparaître toutes les variables dans chaque ligne, avec un coefficient de 0 pour celles qui sont absentes :

À partir de là, il est simple d'extraire les matrices :

• La matrice des coefficients A est formée des coefficients des variables : $$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 0& 4\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$$
• La matrice des inconnues X est la colonne des variables : $$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$
• La matrice des constantes B est la colonne des résultats : $$B=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 5\end{array}\right)$$

L'équation matricielle est donc :

Conclusion

Dans cette leçon, vous avez appris à transformer un système d'équations linéaires en une équation matricielle compacte et standardisée, $AX=B$. C'est une étape de "traduction" fondamentale qui ouvre la porte à des méthodes de résolution algorithmiques.

Points clés à retenir :

• Tout système d'équations linéaires peut s'écrire sous la forme $AX=B$.
• A est la matrice des coefficients, où chaque ligne correspond à une équation et chaque colonne à une variable.
• X est le vecteur colonne des variables.
• B est le vecteur colonne des constantes.
• Il est essentiel de bien aligner les variables et d'utiliser des zéros comme coefficients pour les variables manquantes dans une équation.

Cette formalisation est particulièrement puissante car elle nous permet de travailler avec la "structure" du système. Dans la prochaine leçon, nous allons nous appuyer sur cette forme. Nous introduirons la notion de matrice augmentée, qui combine A et B en une seule matrice [A|B], et nous commencerons à lui appliquer des opérations élémentaires sur les lignes. C'est le cœur de la méthode du pivot de Gauss, une des techniques les plus robustes pour résoudre n'importe quel système d'équations linéaires.