Déterminant et inversibilité des matrices

Bonjour ! Dans les leçons précédentes, nous avons appris à calculer le déterminant d'une matrice, ce nombre unique qui renferme des informations clés sur la matrice. Pour les matrices 2x2, c'est le fameux ad - bc, et pour les 3x3, nous avons exploré la règle de Sarrus et le développement par cofacteurs. Nous avions conclu en mentionnant que le fait que le déterminant soit nul ou non est d'une importance capitale.

Aujourd'hui, nous allons découvrir pourquoi. L'objectif de cette leçon est de vous apprendre à utiliser le déterminant pour répondre à une question binaire mais fondamentale : une matrice carrée possède-t-elle un inverse ? Cette compétence est un prérequis indispensable avant de pouvoir utiliser les matrices pour résoudre des systèmes d'équations, une tâche courante en génie civil pour analyser l'équilibre des forces dans une structure.

1. Qu'est-ce qu'une matrice inversible ?

En arithmétique, tout nombre non nul $a$ possède un inverse, $1/a$, tel que leur produit donne 1. Par exemple, l'inverse de 5 est $1/5$ car $5\times (1/5)=1$. Le nombre 0, lui, n'a pas d'inverse.

En algèbre linéaire, le concept est similaire. Pour une matrice carrée $A$, son inverse, notée $A^{-1}$, est une matrice telle que leur produit donne la matrice identité $I$ (l'équivalent du '1' pour les matrices).

Tout comme le nombre 0, certaines matrices n'ont pas d'inverse. On les appelle des matrices singulières ou non inversibles. Celles qui ont un inverse sont dites inversibles. La question est : comment les distinguer sans essayer de calculer l'inverse ? La réponse est le déterminant.

2. Le critère d'inversibilité

La règle est d'une simplicité remarquable et constitue l'un des théorèmes les plus importants de l'algèbre linéaire.

Comme vous venez de le lire, la règle est la suivante :

Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ($\det (A)\ne 0$).

Inversement, si $\det (A)=0$, la matrice $A$ n'est pas inversible.

L'intuition géométrique

Pourquoi cette règle fonctionne-t-elle ? Rappelez-vous l'interprétation géométrique du déterminant :

• Pour une matrice 2x2, $|\det (A)|$ est l'aire du parallélogramme formé par ses vecteurs colonnes.
• Pour une matrice 3x3, $|\det (A)|$ est le volume du parallélépipède formé par ses vecteurs colonnes.

Si $\det (A)=0$, cela signifie que l'aire (en 2D) ou le volume (en 3D) est nul.

• En 2D, une aire nulle signifie que les deux vecteurs sont sur la même ligne (ils sont colinéaires). La transformation représentée par la matrice "écrase" le plan sur une seule ligne.
• En 3D, un volume nul signifie que les trois vecteurs sont sur le même plan (ils sont coplanaires). La transformation "écrase" l'espace sur un plan ou une ligne.

Si une matrice "écrase" l'espace, elle perd de l'information. Il est alors impossible de faire l'opération inverse pour "dé-écraser" l'espace et retrouver la forme originale. C'est pourquoi une matrice avec un déterminant nul n'est pas inversible.

3. Application pratique

Voyons comment appliquer ce test sur des exemples concrets.

Cas des matrices 2x2

Pour une matrice $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, le test est simple : est-ce que $ad-bc\ne 0$ ?

La vidéo suivante montre deux exemples clairs et rapides.

Comme vous l'avez vu :

• Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 5\end{array}\right)$, $\det (A)=(2)(5)-(-1)(4)=10+4=14$. Puisque $14\ne 0$, la matrice A est inversible.
• Pour $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 2\end{array}\right)$, $\det (B)=(2)(2)-(-1)(-4)=4-4=0$. Puisque le déterminant est nul, la matrice B n'est pas inversible.

L'image ci-dessous résume parfaitement le lien entre le déterminant et la formule de l'inverse pour une matrice 2x2, que nous étudierons en détail dans la prochaine leçon. Notez la condition essentielle pour que l'inverse existe.

Cas des matrices 3x3

La procédure est exactement la même : on calcule le déterminant (avec Sarrus ou les cofacteurs) et on vérifie s'il est nul.

Dans l'exemple, le déterminant est -12. Puisque $-12\ne 0$, on conclut immédiatement que la matrice est inversible.

4. À vous de jouer !

Déterminez si les matrices suivantes sont inversibles.

1. $C=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 9& -3\end{array}\right)$
2. $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ -1& 2& 0\\ 2& 1& 4\end{array}\right)$

...

Solutions

1. Pour la matrice C :
   $\det (C)=(-3)(-3)-(1)(9)=9-9=0$.
   Le déterminant est nul, donc la matrice C n'est pas inversible.

2. Pour la matrice D (utilisons la règle de Sarrus) :
   $\det (D)=(1\cdot 2\cdot 4)+(0\cdot 0\cdot 2)+(3\cdot -1\cdot 1)-[(2\cdot 2\cdot 3)+(1\cdot 0\cdot 1)+(4\cdot -1\cdot 0)]$
   $\det (D)=(8)+(0)+(-3)-[(12)+(0)+(0)]$
   $\det (D)=5-12=-7$.
   Le déterminant est -7, qui est non nul. Donc la matrice D est inversible.

Conclusion

Cette leçon vous a apporté un outil de diagnostic simple et puissant. En calculant un seul nombre, le déterminant, vous pouvez savoir immédiatement si une matrice carrée est inversible.

Points clés à retenir :

• Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro ($\det (A)\ne 0$).
• Si $\det (A)=0$, la matrice est dite singulière (non inversible).
• Géométriquement, un déterminant nul signifie que les vecteurs colonnes de la matrice sont linéairement dépendants (colinéaires en 2D, coplanaires en 3D), ce qui correspond à un "aplatissement" de l'espace.
• Ce test est la première étape cruciale avant de tenter de résoudre un système d'équations AX = B par la méthode de l'inverse. Si det(A) = 0, le système n'aura pas de solution unique.

Maintenant que nous savons identifier les matrices inversibles, l'étape suivante est logique : comment calculer leur inverse ? Dans la prochaine leçon, nous commencerons par le cas le plus simple en apprenant la formule directe pour calculer l'inverse d'une matrice 2x2.