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Bonjour ! Dans la leçon précédente, vous avez appris à calculer le déterminant d'une matrice 2x2, une opération simple mais fondamentale. Nous avons vu que ce nombre unique nous renseigne sur des propriétés importantes, comme la colinéarité des vecteurs colonnes.
Aujourd'hui, nous allons étendre cette compétence aux matrices de taille 3x3. Le calcul est un peu plus élaboré, mais il est essentiel pour les applications pratiques en génie civil, notamment pour résoudre des systèmes d'équations à trois variables qui peuvent modéliser des forces dans une structure tridimensionnelle, des flux dans un réseau ou des contraintes matérielles.
L'objectif de cette leçon est de vous apprendre deux méthodes distinctes pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3 : la règle de Sarrus, un raccourci efficace spécifique aux matrices 3x3, et le développement par cofacteurs, une méthode plus générale qui vous sera indispensable pour la suite du cours.
1. Méthode 1 : La Règle de Sarrus
La règle de Sarrus est une technique visuelle et très directe, parfaite pour un calcul rapide à la main. Elle ne fonctionne uniquement que pour les matrices 3x3.
Le principe est le suivant :
- On écrit la matrice 3x3.
- On recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice.
- On additionne les produits des trois diagonales "descendantes" (allant de la gauche vers la droite).
- On soustrait les produits des trois diagonales "montantes" (allant de la droite vers la gauche).
L'image suivante illustre ce processus de manière très claire. À gauche, les produits à additionner (en rouge, vert, bleu) et à droite, les produits à soustraire (en bordeaux, orange, violet).
Considérons une matrice A générique :
En appliquant la règle, le déterminant est :
Mémoriser cette formule est moins intuitif que d'appliquer directement la méthode visuelle. La vidéo suivante vous montre précisément comment faire.
Règle de Sarrus - calcul du déterminant d'une matrice 3 x 3
Cette vidéo de la chaîne Méthode Maths explique très clairement la méthode la plus simple pour appliquer la règle de Sarrus en recopiant les colonnes.
Concentrez-vous sur la deuxième méthode expliquée, qui est la plus visuelle et la moins sujette aux erreurs. Le présentateur y détaille comment recopier les colonnes et identifier les diagonales. Suivez ensuite le calcul pas à pas de la première application numérique.
Exemple concret
Appliquons cette règle à un exercice tiré d'un contexte de génie civil.
Matrices et Déterminants - Exercice corrigé - Étudiant génie civil
Ce document propose un exercice complet dont la première étape est le calcul du déterminant d'une matrice 3x3. L'explication est claire et structurée.
Lisez la section "Question 1 : Calcul du Déterminant de A". Prêtez attention à la méthode décrite et suivez attentivement le calcul détaillé pour la matrice A. Notez bien comment les signes négatifs sont gérés dans les produits et la soustraction finale.
Le document mentionne une interprétation géométrique importante : le déterminant d'une matrice 3x3 représente le volume du parallélépipède formé par ses trois vecteurs colonnes. Si le déterminant est nul, le volume est nul, ce qui signifie que les trois vecteurs sont coplanaires (ils reposent sur le même plan).
2. Méthode 2 : Le Développement par cofacteurs
La règle de Sarrus est pratique, mais limitée. La méthode de développement par cofacteurs (ou par rapport à une ligne ou une colonne) est plus puissante car elle s'applique aux matrices de n'importe quelle taille. Elle décompose le calcul d'un déterminant 3x3 en plusieurs calculs de déterminants 2x2, que vous maîtrisez déjà.
Voici les étapes :
- Choisir une ligne ou une colonne. Le mieux est d'en choisir une avec le plus de zéros possible pour simplifier les calculs.
- Utiliser la "grille des signes". Chaque position dans la matrice a un signe associé selon cette grille :
- Pour chaque élément de la ligne/colonne choisie :
- On le multiplie par son signe correspondant dans la grille.
- On le multiplie par le mineur, qui est le déterminant de la sous-matrice 2x2 obtenue en supprimant la ligne et la colonne de cet élément.
- Additionner les résultats. La somme de ces trois termes donne le déterminant.
La vidéo suivante de Khan Academy illustre parfaitement ce processus.
Trouver le déterminant d'une matrice 3x3 - Méthode 2
Cette vidéo explique pas à pas comment calculer le déterminant 3x3 en développant par rapport à la première ligne.
Regardez l'introduction qui présente la grille des signes. Suivez ensuite attentivement le calcul de chaque terme : le premier terme, le deuxième terme (attention au double signe négatif !) et le troisième terme. Enfin, observez l'assemblage final du résultat.
Comparaison des méthodes et exercice
Il est très utile de voir que les deux méthodes donnent le même résultat. La méthode des cofacteurs peut sembler plus longue, mais elle est plus systématique et indispensable pour des concepts futurs comme le calcul de l'inverse d'une matrice.
Pour vous exercer, le document suivant propose des calculs à effectuer.
Ce document PDF détaille les deux méthodes et propose des exercices pour chacune, vous permettant de comparer et de vous entraîner.
D'abord, lisez la section sur la règle de Sarrus (page 5) pour une autre perspective. Ensuite, faites les trois calculs de l'Exercice 2.2 (page 6) en utilisant cette règle. Ensuite, lisez l'explication de la méthode générale par cofacteurs (page 6). Enfin, relevez le défi de l'Exercice 2.3 (page 7) : recalculez les déterminants de l'exercice précédent, mais cette fois en utilisant le développement par cofacteurs. Vous devriez trouver les mêmes résultats ! Pour le déterminant c), essayez de développer par rapport à la deuxième ligne pour profiter du zéro.
Conclusion
Félicitations, vous disposez maintenant de deux outils pour calculer le déterminant d'une matrice 3x3, une compétence de calcul essentielle.
Points clés à retenir :
- Le déterminant d'une matrice 3x3 est un nombre unique qui représente le volume du parallélépipède formé par ses vecteurs colonnes.
- La règle de Sarrus est un raccourci visuel rapide mais exclusif aux matrices 3x3.
- Le développement par cofacteurs est une méthode générale qui décompose le calcul en déterminants plus petits. Elle est fondamentale pour des calculs plus avancés.
- Un déterminant nul pour une matrice 3x3 signifie que ses vecteurs colonnes sont coplanaires.
La valeur du déterminant, et surtout le fait qu'il soit nul ou non, est le critère qui nous permettra, dans la prochaine leçon, de répondre à une question cruciale : une matrice est-elle inversible ? Cette notion est la clé de voûte de la résolution matricielle des systèmes d'équations.