Méthode de Cramer pour les systèmes carrés

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Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons vu comment résoudre un système d'équations $A X = B$ en utilisant l'inverse de la matrice, $X = A^{- 1} B$ . Cette méthode est très structurée, mais le calcul de l'inverse peut être long. Aujourd'hui, nous allons explorer une autre approche, tout aussi puissante pour les systèmes carrés : la méthode de Cramer.

L'objectif de cette leçon est de vous apprendre à résoudre un système d'équations carrées en utilisant des déterminants. La méthode de Cramer offre une formule directe pour trouver la valeur de chaque inconnue indépendamment des autres. C'est un outil particulièrement élégant et efficace dans certaines situations, notamment lorsque vous n'avez besoin que d'une seule variable de la solution.

1. Le Principe de la Règle de Cramer

La règle de Cramer, nommée d'après le mathématicien suisse Gabriel Cramer, est une formule explicite pour la solution d'un système d'équations linéaires carré, à condition qu'une solution unique existe.

Pour un système d'équations sous la forme matricielle $A X = B$ , où $A$ est une matrice carrée, la règle stipule que chaque inconnue $x_{i}$ peut être calculée comme le quotient de deux déterminants :

x_{i} = \frac{det ( A _{i} )}{det ( A )}

Ici :

$det (A)$ est le déterminant de la matrice des coefficients $A$ . Nous le noterons souvent $D$ . C'est le dénominateur commun pour toutes les inconnues.
$det (A_{i})$ est le déterminant d'une matrice spéciale, notée $A_{i}$ . Cette matrice est obtenue en remplaçant la $i$ -ème colonne de $A$ par le vecteur des constantes $B$ . Nous noterons ce déterminant $D_{i}$ .

Une condition essentielle pour que cette méthode fonctionne est que le déterminant de la matrice des coefficients, $det (A)$ , soit non nul. Vous vous souvenez que c'est la même condition pour qu'une matrice soit inversible, ce qui garantit l'existence d'une solution unique.

La ressource suivante présente la formule et les conditions d'application de cette méthode de manière très claire.

Règle de Cramer : Une méthode directe pour résoudre des systèmes linéaires

Cet article de DataCamp introduit la règle de Cramer, sa formule générale et ses fondements.

Lisez l'introduction Qu'est-ce que la règle de Cramer ? pour saisir l'idée générale. Ensuite, portez attention à la section Fondements mathématiques et formules, qui présente la formule générale et la décompose pour un système 2x2.

2. Application sur un Système 2x2

Mettons en pratique cette règle avec un exemple simple que vous connaissez déjà bien. Soit le système :

{12 x + 3 y = 15 2 x - 3 y = 13

Étape 1 : Identifier les matrices $A$ et $B$

A = (122 3 - 3), X = (x y), B = (1513)

Étape 2 : Calculer le déterminant principal $D = det (A)$
Ce calcul vous est désormais familier.

D = det (A) = 122 3 - 3 = (12) (- 3) - (3) (2) = - 36 - 6 = - 42

Puisque $D \neq = 0$ , le système a une solution unique et nous pouvons appliquer la règle de Cramer.

Cette image illustre le processus de calcul du déterminant pour une matrice 2x2, qui est la base de la méthode de Cramer.

Étape 3 : Calculer les déterminants spécifiques $D_{x}$ et $D_{y}$

Pour calculer $D_{x}$ , on remplace la première colonne de $A$ (la colonne des coefficients de $x$ ) par le vecteur $B$ .

D_{x} = det (A_{x}) = 1513 3 - 3 = (15) (- 3) - (3) (13) = - 45 - 39 = - 84

Pour calculer $D_{y}$ , on remplace la deuxième colonne de $A$ (la colonne des coefficients de $y$ ) par le vecteur $B$ .

D_{y} = det (A_{y}) = 1221513 = (12) (13) - (15) (2) = 156 - 30 = 126

(Note: Il y a une erreur de signe dans le calcul de $D_{y}$ dans le document LibreTexts, la valeur correcte est bien 126, et non -126).

Étape 4 : Calculer les solutions

x = \frac{D _{x}}{D} = \frac{- 84}{- 42} = 2

y = \frac{D _{y}}{D} = \frac{126}{- 42} = - 3

La solution est $(x, y) = (2, - 3)$ .

La vidéo suivante montre très rapidement cette procédure sur un autre exemple 2x2.

Règle de Cramer

Cette vidéo de Mathéma-TIC illustre l'application directe de la règle de Cramer.

Regardez le premier exemple pour un système 2x2. Observez comment les matrices sont construites et les solutions calculées en quelques secondes.

3. Application sur un Système 3x3

La logique reste identique pour les systèmes 3x3, mais les calculs de déterminants sont plus longs. Prenons le système :

⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 6 3 x - 2 y + z = - 5 x + 3 y - 2 z = 14

Étape 1 : Identifier $A$ et $B$

A = 131 1 - 2 3 - 1 1 - 2, B = 6 - 5 14

Étape 2 : Calculer $D = det (A)$
Vous pouvez utiliser la méthode de votre choix (Sarrus ou développement par cofacteurs). Utilisons ici le développement par rapport à la première ligne :

D = 1 - 2 3 1 - 2 - 1 31 1 - 2 + (- 1) 31 - 2 3

D = 1 ((- 2) (- 2) - (1) (3)) - 1 ((3) (- 2) - (1) (1)) - 1 ((3) (3) - (- 2) (1))

D = 1 (4 - 3) - 1 (- 6 - 1) - 1 (9 + 2) = 1 - (- 7) - 11 = 1 + 7 - 11 = - 3

Puisque $D = - 3 \neq = 0$ , une solution unique existe.

Cette image décompose le calcul d'un déterminant 3x3 par la méthode du développement par cofacteurs, un calcul que nous devons répéter plusieurs fois dans la méthode de Cramer.

Étape 3 : Calculer $D_{x}$ , $D_{y}$ , $D_{z}$
Le processus est le même : on remplace tour à tour chaque colonne de $A$ par $B$ .

D_{x} = 6 - 5 14 1 - 2 3 - 1 1 - 2 = - 3

D_{y} = 131 6 - 5 14 - 1 1 - 2 = - 9

D_{z} = 131 1 - 2 3 6 - 5 14 = 6

Étape 4 : Calculer les solutions

x = \frac{D _{x}}{D} = \frac{- 3}{- 3} = 1

y = \frac{D _{y}}{D} = \frac{- 9}{- 3} = 3

z = \frac{D _{z}}{D} = \frac{6}{- 3} = - 2

La solution est $(x, y, z) = (1, 3, - 2)$ .

La ressource et la vidéo ci-dessous détaillent ce processus de manière exhaustive.

11.8 : Résoudre des systèmes avec la règle de Cramer

Ce document LibreTexts vous guidera à travers la méthode pour les systèmes 3x3.

Commencez par la section "Évaluation du déterminant d'une matrice 3 × 3" pour une révision de la méthode de calcul. Ensuite, étudiez attentivement la section "Utiliser la règle de Cramer pour résoudre un système de trois équations" qui contient l'exemple que nous venons de traiter, avec tous les calculs de déterminants détaillés.

Pour un accompagnement visuel et très détaillé, la vidéo suivante est excellente. Elle prend un autre exemple et calcule tout de A à Z.

Méthode de Cramer. Comment résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer ? ( Partie 3 )

Cette vidéo de "Make maths easier" est un tutoriel complet sur la résolution d'un système 3x3 avec Cramer.

Regardez d'abord comment le système est transformé en écriture matricielle. L'auteur explique ensuite la condition du déterminant non nul. Ensuite, vous pouvez suivre le calcul de chaque variable : le calcul de x, le calcul de y, et le calcul de z. Finalement, observez la vérification, une bonne pratique à adopter.

4. Limites de la Règle de Cramer

Que se passe-t-il si le déterminant principal $D = det (A)$ est égal à zéro ?
Dans ce cas, la formule de Cramer implique une division par zéro, ce qui est impossible. La règle de Cramer ne s'applique donc pas.

Un déterminant nul signifie que le système n'a pas de solution unique. Il peut soit :

N'avoir aucune solution (système incompatible).
Avoir une infinité de solutions (système dépendant).

Pour distinguer ces deux cas, il faut revenir à d'autres méthodes, comme la méthode du pivot de Gauss que vous étudierez bientôt.

Règle de Cramer

La même vidéo que précédemment explique très bien cette limitation.

Regardez le troisième exemple où le déterminant est nul, et l'explication qui en découle.

Conclusion

La méthode de Cramer est un outil puissant pour résoudre des systèmes d'équations linéaires carrés, en particulier lorsque vous n'êtes intéressé que par la valeur d'une seule inconnue, car elle vous évite de devoir résoudre tout le système.

Les points clés à retenir sont :

La règle de Cramer exprime chaque inconnue $x_{i}$ comme un ratio de déterminants : $x_{i} = D_{i} / D$ .
$D$ est le déterminant de la matrice des coefficients $A$ .
$D_{i}$ est le déterminant de la matrice $A$ où la $i$ -ème colonne a été remplacée par le vecteur des constantes $B$ .
La méthode n'est applicable que si et seulement si $D = det (A) \neq = 0$ . Si $D = 0$ , le système n'a pas de solution unique.

Ceci conclut notre module sur les différentes méthodes de résolution de systèmes linéaires. Vous disposez maintenant de plusieurs techniques : la méthode de l'inverse et la méthode de Cramer. Dans le prochain module, nous aborderons les applications linéaires d'un point de vue plus théorique, en commençant par définir ce qu'est une application linéaire et comment vérifier cette propriété.