Tester la linéarité d'une application : additivité et homogénéité

Bonjour ! Dans la dernière leçon, nous avons conclu notre exploration des méthodes de résolution de systèmes d'équations avec la règle de Cramer. Vous maîtrisez maintenant plusieurs techniques puissantes pour trouver des solutions, en supposant que le système est "carré" et possède une solution unique. Nous allons maintenant commencer un nouveau module qui nous ramène à une question plus fondamentale : qu'est-ce qui rend un système d'équations "linéaire" ?

Cette leçon est la première étape de notre étude des applications linéaires. Nous allons définir précisément ce que ce terme signifie. Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels (comme de ${\mathbb{R}}^2$ vers ${\mathbb{R}}^3$) qui "respecte" la structure de ces espaces. L'objectif d'aujourd'hui est d'apprendre à identifier si une application est linéaire en vérifiant deux propriétés fondamentales : l'additivité et l'homogénéité. Comprendre ce concept est crucial, car il constitue le fondement théorique de la plupart des opérations matricielles que vous avez déjà pratiquées.

1. Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

En termes simples, une application est une règle qui transforme un vecteur d'un espace de départ en un vecteur d'un espace d'arrivée. Par exemple, $f(x,y)=(x+y,2x,y)$ est une application qui transforme un vecteur de ${\mathbb{R}}^2$ en un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$.

Pour qu'une telle application soit qualifiée de "linéaire", elle doit préserver les opérations de base des espaces vectoriels : l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire. Cela se traduit par deux conditions formelles.

La ressource suivante définit ces deux propriétés de manière claire et concise.

Pour résumer, une application $f$ est linéaire si, pour tous vecteurs $u$ et $v$ et tout scalaire $\lambda$ :

1. Additivité : $f(u+v)=f(u)+f(v)$
   • L'image de la somme est la somme des images.
2. Homogénéité : $f(\lambda u)=\lambda f(u)$
   • L'image du produit par un scalaire est le produit du scalaire par l'image.

Un test rapide et pratique :
Comme vous l'avez lu, une conséquence directe de ces propriétés est que toute application linéaire doit envoyer le vecteur nul de l'espace de départ sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée. Autrement dit, $f(0)=0$.
Si vous calculez $f(0)$ et que le résultat n'est pas le vecteur nul, vous pouvez immédiatement conclure que l'application n'est pas linéaire, sans même tester l'additivité et l'homogénéité. Par exemple, l'application $f(x,y)=(x+1,y)$ n'est pas linéaire car $f(0,0)=(1,0)\ne (0,0)$.

2. Méthode de vérification : un exemple détaillé

Pour prouver qu'une application est linéaire, il faut montrer que les deux propriétés sont toujours vraies. La méthode consiste à prendre des vecteurs génériques (par exemple, $u=(x,y,z)$ et $v=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$) et à effectuer les calculs de manière formelle.

La vidéo suivante est un excellent guide qui vous montre, pas à pas, comment rédiger cette preuve en vérifiant les deux propriétés séparément.

Comme vous l'avez vu, la démarche est très structurée :

1. On pose des vecteurs et un scalaire génériques.
2. On calcule d'une part $f(u+v)$ en développant l'expression.
3. On calcule d'autre part $f(u)+f(v)$ et on vérifie que les deux résultats sont identiques.
4. On répète le processus pour l'homogénéité avec $f(\lambda u)$ et $\lambda f(u)$.

3. Quand une application n'est pas linéaire

Il est tout aussi important de savoir reconnaître une application non linéaire. Pour cela, il suffit de trouver un seul contre-exemple qui viole l'une des deux propriétés.

Prenons l'application $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y)=x^2+y^2$.
Vérifions le test rapide : $f(0,0)=0^2+0^2=0$. Le test est concluant, donc nous devons aller plus loin. Testons l'homogénéité.

Soit le vecteur $u=(1,1)$ et le scalaire $\lambda =2$.

• Calculons d'abord $f(u)$ : $f(1,1)=1^2+1^2=2$.
• Donc, $\lambda f(u)=2\times f(1,1)=2\times 2=4$.

Maintenant, calculons $f(\lambda u)$ :

• D'abord, $\lambda u=2\times (1,1)=(2,2)$.
• Ensuite, $f(\lambda u)=f(2,2)=2^2+2^2=4+4=8$.

Nous voyons que $f(\lambda u)=8$ tandis que $\lambda f(u)=4$. Puisque $8\ne 4$, la propriété d'homogénéité n'est pas respectée. Nous avons trouvé un contre-exemple, donc l'application $f(x,y)=x^2+y^2$ n'est pas linéaire.

Le document ci-dessous contient d'autres exemples simples d'applications linéaires et non linéaires.

4. Une méthode alternative : la condition combinée

Comme mentionné dans la première ressource, les deux conditions d'additivité et d'homogénéité peuvent être vérifiées en une seule fois à l'aide d'une propriété combinée :
$f(\lambda u+v)=\lambda f(u)+f(v)$

Prouver cette égalité unique est équivalent à prouver les deux propriétés séparément. C'est souvent plus rapide une fois que l'on est à l'aise avec les manipulations.

L'exercice corrigé suivant utilise cette méthode combinée. Suivez le raisonnement pour voir comment il s'applique concrètement.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons franchi une étape importante en passant de la simple résolution de systèmes à la compréhension de leur structure sous-jacente. Vous avez appris à définir et à vérifier ce qu'est une application linéaire.

Points clés à retenir :

• Une application est linéaire si elle préserve l'addition de vecteurs (additivité) et la multiplication par un scalaire (homogénéité).
• Pour prouver la linéarité, on vérifie que $f(u+v)=f(u)+f(v)$ et $f(\lambda u)=\lambda f(u)$ pour des vecteurs et scalaires génériques, ou on utilise la condition combinée $f(\lambda u+v)=\lambda f(u)+f(v)$.
• Pour prouver la non-linéarité, il suffit de trouver un seul contre-exemple qui viole l'une des propriétés.
• Un test rapide : si $f(0)\ne 0$, l'application n'est pas linéaire.

Maintenant que vous savez identifier une application linéaire, la prochaine étape logique est de voir comment la représenter de manière concrète. Dans la prochaine leçon, nous verrons comment toute application linéaire entre des espaces comme ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{R}}^m$ peut être représentée par un outil que vous connaissez très bien : une matrice. Cela fera le lien entre la théorie que nous venons de voir et tous les calculs matriciels que vous avez appris.