Matrice d'une application linéaire dans la base canonique

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons posé les bases de la théorie des applications linéaires en apprenant à les identifier. Vous savez maintenant qu'une application est linéaire si elle respecte l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire.

Aujourd'hui, nous allons faire le lien crucial entre ce concept abstrait et l'outil que vous manipulez depuis le début de ce cours : la matrice. L'objectif est de comprendre comment toute application linéaire peut être "encodée" dans une matrice. Plus précisément, vous apprendrez à déterminer la matrice associée à une application linéaire dans la base canonique. C'est une compétence fondamentale qui transforme une fonction en un tableau de nombres, nous permettant d'utiliser l'algèbre matricielle pour analyser des transformations géométriques et des systèmes d'équations.

1. L'idée fondamentale : une matrice comme "recette" de transformation

Souvenez-vous d'une propriété essentielle des applications linéaires : elles sont entièrement définies par l'image des vecteurs d'une base. Si nous savons comment une application linéaire $f$ transforme les vecteurs de base de l'espace de départ, nous pouvons en déduire comment elle transforme n'importe quel autre vecteur.

La matrice associée à $f$ est simplement une manière organisée de stocker ces informations. La méthode, lorsque l'on travaille dans les bases les plus simples (les bases canoniques), est très directe :

• On prend chaque vecteur de la base canonique de l'espace de départ.
• On calcule son image par l'application $f$.
• On range les coordonnées du vecteur résultant en une colonne dans la matrice.

Le diagramme suivant illustre parfaitement ce processus.

L'article suivant formalise cette idée et présente la méthode que nous allons appliquer.

2. Méthode pratique : de l'application à la matrice

Mettons cette méthode en pratique. La vidéo suivante vous montrera comment construire la matrice pour une application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

Reprenons l'exemple de la vidéo, $f(x,y)=(x+y,2x+3y,x-y)$.

1. Identifier la base de départ : C'est la base canonique de ${\mathbb{R}}^2$, soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2)$ avec $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$.

2. Calculer les images des vecteurs de base :

   • $f(e_1)=f(1,0)=(1+0,2(1)+3(0),1-0)=(1,2,1)$
   • $f(e_2)=f(0,1)=(0+1,2(0)+3(1),0-1)=(1,3,-1)$

3. Former la matrice colonne par colonne :

   • La première colonne est le vecteur $f(e_1)$.
   • La deuxième colonne est le vecteur $f(e_2)$.

La matrice de $f$ dans les bases canoniques est donc :
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$

Notez bien les dimensions : $f$ va de ${\mathbb{R}}^2$ (dimension 2) vers ${\mathbb{R}}^3$ (dimension 3). La matrice résultante est de taille 3x2, c'est-à-dire dim(arrivée) x dim(départ).

3. Un autre exemple : de ${\mathbb{R}}^3$ à ${\mathbb{R}}^2$

Pour bien fixer les idées, voyons un exemple dans l'autre sens, avec une application de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

Prenons l'exemple de la vidéo, $f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z)$.

1. Base de départ : Base canonique de ${\mathbb{R}}^3$, $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$.

2. Calcul des images :

   • $f(e_1)=f(1,0,0)=(1,2)$
   • $f(e_2)=f(0,1,0)=(1,0)$
   • $f(e_3)=f(0,0,1)=(-1,1)$

3. Construction de la matrice :
   $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$

Ici, $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$, la matrice est bien de taille 2x3.

Vous pouvez vous entraîner avec les exercices de la ressource Bibm@th ci-dessous. Le premier exercice est très similaire à ce que nous venons de faire.

4. Attention aux erreurs classiques

La construction de la matrice d'une application linéaire est une procédure mécanique, mais quelques erreurs sont fréquentes. Il est utile de les avoir en tête pour les éviter.

Conclusion

Cette leçon a établi un pont fondamental entre les fonctions et les matrices. Vous avez appris la méthode systématique pour traduire une application linéaire en sa matrice représentative dans les bases canoniques.

Points clés à retenir :

• La matrice d'une application linéaire $f$ est un "enregistrement" de la manière dont $f$ transforme les vecteurs de la base de départ.
• Pour la construire, on calcule l'image de chaque vecteur de la base de départ ($f(e_1),f(e_2),\dots$).
• Chaque vecteur image $f(e_j)$ devient la j-ème colonne de la matrice.
• Une application de ${\mathbb{R}}^p$ vers ${\mathbb{R}}^n$ est représentée par une matrice de taille $n\times p$.
• L'action de l'application $f(x)$ est équivalente au produit matriciel $A\cdot X$.

Maintenant que nous savons comment associer une matrice $A$ à une application linéaire $f$, nous pouvons utiliser tous les outils de l'algèbre matricielle pour étudier les propriétés de $f$. Dans la prochaine leçon, nous commencerons par explorer le noyau de $f$, un concept qui revient à résoudre le système homogène $AX=0$, une opération que vous connaissez déjà bien.