Détermination d'une base du noyau d'une application linéaire

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons appris à traduire une application linéaire $f$ en sa matrice associée $A$. Cette étape est cruciale car elle nous permet de remplacer l'étude d'une fonction abstraite par le calcul sur un tableau de nombres.

Aujourd'hui, nous allons exploiter cette nouvelle compétence pour analyser une propriété fondamentale des applications linéaires : leur noyau. L'objectif est d'apprendre à déterminer une base du noyau (Ker f) en résolvant le système homogène AX = 0. Le noyau, comme son nom l'indique, est au cœur de l'application. Il contient tous les vecteurs qui sont "écrasés" sur le vecteur nul par la transformation. La bonne nouvelle, c'est que la méthode pour le trouver repose sur une technique que vous avez déjà maîtrisée dans le module 2 : la résolution de systèmes d'équations linéaires.

1. Qu'est-ce que le noyau et comment le trouver ?

Par définition, le noyau d'une application linéaire $f$, noté $\text{Ker}(f)$, est l'ensemble de tous les vecteurs $X$ de l'espace de départ qui ont pour image le vecteur nul $\vec{0}$ de l'espace d'arrivée.
$\text{Ker}(f)=\{X\mid f(X)=\vec{0}\}$
Puisque nous savons que l'action de $f$ sur un vecteur $X$ est équivalente au produit matriciel $AX$, où $A$ est la matrice de $f$, la condition $f(X)=\vec{0}$ se traduit directement en une équation matricielle :
$AX=\vec{0}$
Trouver le noyau revient donc à trouver l'ensemble de toutes les solutions de ce système d'équations linéaires homogène.

Le document suivant formalise cette méthode très directe.

La vidéo suivante vous présente également cette définition de manière très visuelle avant de passer à un exemple.

2. Méthode de calcul : de l'équation à la base

La méthode pour déterminer une base du noyau est purement algorithmique et se décompose en trois grandes étapes :

1. Poser le système : Écrire le système d'équations qui correspond à $AX=\vec{0}$.
2. Résoudre le système : Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour échelonner la matrice et trouver la forme générale des solutions.
3. Extraire la base : Exprimer la solution sous forme vectorielle paramétrique. Les vecteurs qui multiplient les paramètres (les variables libres) forment la base du noyau.

La vidéo suivante applique cette méthode à un exemple concret.

3. Exemple détaillé

Prenons un exemple pour bien fixer la procédure. Soit $f$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique est :
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 2& -2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$

Notre but est de trouver une base de $\text{Ker}(f)$.

Étape 1 : Poser le système
Nous cherchons les vecteurs $X=(x,y,z)$ tels que $AX=\vec{0}$.
$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 2& -2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
Ce qui nous donne le système :
$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ -x+2y-2z=0\\ 3y-z=0\end{array}$

Étape 2 : Résoudre le système
Nous pouvons utiliser la méthode du pivot de Gauss, mais ici une substitution simple est rapide.
De la 3ème ligne, on tire $z=3y$.
On remplace $z$ dans les deux premières lignes :
$\{\begin{array}{l}x+y+(3y)=0\\ -x+2y-2(3y)=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+4y=0\\ -x-4y=0\end{array}$
Les deux lignes sont équivalentes. De la première, on tire $x=-4y$. La variable $y$ peut prendre n'importe quelle valeur, c'est notre variable libre ou paramètre.

Étape 3 : Extraire la base
La solution générale est donc :
$\{\begin{array}{l}x=-4y\\ y=y\\ z=3y\end{array}$
Exprimons le vecteur solution $X$ en fonction du paramètre $y$ :
$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4y\\ y\\ 3y\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$
Ceci nous montre que tout vecteur du noyau est un multiple du vecteur $(-4,1,3)$. Ce vecteur engendre donc l'espace vectoriel $\text{Ker}(f)$. Comme il est non nul, il forme une base de cet espace.

La base de $\text{Ker}(f)$ est donc ${\mathcal{B}}_{\text{Ker}(f)}=\{(-4,1,3)\}$.
La dimension du noyau est 1 (il y a un seul vecteur dans la base).

Cet exemple est tiré de l'Exercice 6 de la ressource Bibm@th, où vous pouvez retrouver la correction pour confirmation.

4. Cas avec plusieurs vecteurs de base

Parfois, la résolution du système peut faire apparaître plusieurs variables libres. Dans ce cas, la base du noyau contiendra autant de vecteurs qu'il y a de variables libres.

L'image ci-dessous illustre un tel cas.

Dans cet exemple, la solution est de la forme $X=x_3\cdot V_1+x_4\cdot V_2$. Cela signifie que tout vecteur du noyau peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs $V_1$ et $V_2$. La famille $(V_1,V_2)$ est donc une famille génératrice du noyau. Comme elle est également libre, c'est une base du noyau, qui est ici de dimension 2.

5. Entraînement

Pour vous exercer, je vous propose de résoudre un exercice complet. La démarche est un peu plus longue mais récapitule ce que nous venons de voir et la leçon précédente.

Conclusion

Dans cette leçon, vous avez appris à déterminer une base du noyau d'une application linéaire, une compétence centrale pour l'analyse de ces transformations.

Points clés à retenir :

• Le noyau de $f$, noté $\text{Ker}(f)$, est l'ensemble des vecteurs $X$ tels que $f(X)=\vec{0}$.
• En termes matriciels, cela se traduit par la résolution du système homogène $AX=\vec{0}$.
• La méthode consiste à résoudre ce système (par pivot de Gauss ou substitution) et à exprimer la solution en fonction des variables libres.
• Les vecteurs qui multiplient les variables libres dans la solution paramétrique forment une base du noyau. Le nombre de ces vecteurs donne la dimension du noyau.

Le noyau est un outil très puissant. Par exemple, sa dimension nous renseigne sur le caractère "injectif" de l'application. Nous explorerons cette notion dans la prochaine leçon, où nous nous intéresserons aussi à l'autre sous-espace fondamental associé à une application linéaire : son image.